Kvadratura (matematika)

Matematikada kvadratura tarixiy atama boʻlib, maydonni aniqlash jarayonini anglatadi.va bu atama hozirgi kunda ham differensial tenglamalar kontekstida keng qoʻllaniladi, bu erda „tenglamani kvadratura boʻyicha yechish“ yoki „kvadratturaga qisqartirish“ uning yechimini integrallar bilan ifodalashni anglatadi.

Kvadratura masalalari hisob-kitoblarni ishlab chiqishda muammolarning asosiy manbalaridan biri boʻlib xizmat qildi va matematik tahlilga muhim mavzularni kiritdi.

TarixiTahrirlash

Antik davrTahrirlash

 
Gippokratning lunasi uning aniq maydoni matematik tarzda hisoblangan birinchi egri chiziq boʻlgan.

Yunon matematiklari figuraning maydonini aniqlashni bir xil maydonga (kvadratga) ega boʻlgan kvadratni geometrik tarzda qurish jarayoni deb tushunishgan, shuning uchun ham bu jarayonni kvadratura deb atashgan. Yunon geometriyalari har doim ham muvaffaqiyatli boʻlib chiqmagan (aylana kvadratiga qarang), lekin ular yon tomonlari oddiy chiziq segmentlari boʻlmagan baʼzi figuralarning kvadraturalarini amalga oshirdilar, masalan, Gippokrat va parabola . Maʼlum bir yunon anʼanalariga koʻra, bu konstruktsiyalarni faqat kompas va toʻgʻri chiziq yordamida bajarish kerak edi, ammo hamma yunon matematiklari ham bu fikrga amal qilmagan edilar.

 
Geometrik oʻrtachani topishning antiqa usuli

Tomonlari a va b boʻlgan toʻrtburchakning kvadrati uchun yon tomoni bilan kvadrat qurish kerak.   (a va b ning geometrik oʻrtachasi). Buning uchun quyidagilardan foydalanish mumkin: agar a va b uzunlikdagi chiziq segmentlarini birlashtirishdan yasalgan diametrli doira chizilsa, u holda diametrga perpendikulyar chizilgan chiziq segmentining balandligi hisoblanadi (diagrammada BH), ularning aylanani kesib oʻtadigan nuqtaga ulanish nuqtasi a va b ning geometrik oʻrtacha qiymatiga teng boʻladi. Xuddi shunday geometrik konstruktsiya parallelogramm va uchburchakning kvadraturasi masalalarini hal qilishda yordam bergan.

 
Arximed parabolik segmentning maydoni chizilgan uchburchakning 4/3 qismini tashkil etishini isbotladi.

Egri chiziqli figuralar uchun kvadratura masalalari ancha qiyin.19-asrda Sirkul va toʻgʻri chiziqli aylananing kvadraturasi yechish mumkin emasligi isbotlangan[1][2] .Shunga qaramay, baʼzi raqamlar uchun kvadraturani bajarish mumkin. Arximed tomonidan kashf etilgan shar yuzasi va parabola segmentining kvadratlari antik davrda tahlilning eng yuqori yutugʻi boʻlgan edi.

  • Sfera sirtining maydoni bu sharning katta doirasi hosil qilgan aylana maydonining toʻrt barobariga teng boʻladi.
  • Parabola segmentini kesuvchi toʻgʻri chiziq bilan aniqlangan maydoni ushbu segmentga chizilgan uchburchakning 4/3 qismini tashkil qiladi.

Ushbu natijalarni isbotlash uchun Arximed Evdoksga tegishli charchoq usulidan foydalangan[3].

Oʻrta asrlar matematikasiTahrirlash

Oʻrta asrlarda Evropada kvadratura har qanday usul bilan maydonni hisoblashni anglatadi. Koʻpincha boʻlinmaslar usuli ishlatilgan; u yunonlarning geometrik konstruktsiyalariga qaraganda unchalik qatʼiy emas edi, lekin u oddiyroq va kuchliroq boʻlgan. Uning yordami bilan Galileo Galiley va Gilles de Roberval sikloid kamar maydonini topdilar, Greguar de Sent-Vinsent giperbola ostidagi maydonni oʻrgandilar (Opus Geometricum, 1647)[3] :491va de Saint-Vinsentning shogirdi va sharhlovchisi Alfons Antonio de Sarasa bu sohaning logarifmlar bilan bogʻliqligini taʼkidladi edi[3][4].

Integral hisoblashTahrirlash

Jon Uollis bu usulni algebrizatsiya qilgan; u oʻzining Arifmetika Infinitorum (1656) asarida hozir aniq integral deb ataladigan narsaga ekvivalent boʻlgan baʼzi qatorlarni yozgan va ularning qiymatlarini hisoblagan. Isaak Barrou va Jeyms Gregori keyingi yutuqlarga erishdilar: baʼzi algebraik egri va spirallar uchun kvadraturalar boʻlgan. Kristian Gyuygens inqilobning baʼzi qattiq jismlari yuzasining kvadraturasini muvaffaqiyatli hisoblangan.

Sent-Vinsent va de Sarasa tomonidan giperbolaning kvadraturasi muhim ahamiyatga ega boʻlgan yangi funktsiyani — natural logarifmni taqdim etdi. Integral hisoblash ixtirosi bilan maydonni hisoblashning universal usuli paydo boʻldi. Bunga javoban, kvadratura atamasi anʼanaviy boʻlib qoldi va uning oʻrniga maydonni topish zamonaviy iborasi texnik jihatdan bir oʻzgaruvchan aniq integralni hisoblash uchun hozirgacha ishlatiladi.

Shuningdek qarangTahrirlash

  • Gauss kvadrati
  • Giperbolik burchak
  • Raqamli integratsiya
  • Kvadratrisa
  • Tan-sinx kvadraturasi

ManbalarTahrirlash

  1. Lindemann, F. (1882). "Über die Zahl π [On the number π]" (de). Mathematische Annalen 20: 213–225. doi:10.1007/bf01446522. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102917051;view=1up;seq=237. 
  2. Fritsch, Rudolf (1984). "The transcendence of Andoza:Pi has been known for about a century—but who was the man who discovered it?". Results in Mathematics 7 (2): 164–183. doi:10.1007/BF03322501. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Katz, Victor J.. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd, Addison Wesley Longman, 1998. ISBN 0-321-01618-1.  Manba xatosi: Invalid <ref> tag; name "Katz" defined multiple times with different content
  4. Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics, § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117
  • Boyer, CB (1989) Matematika tarixi, 2-nashr. rev. Uta C. Merzbax tomonidan. Nyu-York: Wiley,ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk nashri.ISBN 0-471-54397-7ISBN 0-471-54397-7).
  • Eves, Xovard (1990) Matematika tarixiga kirish, Sonders,ISBN 0-03-029558-0 ,
  • Kristian Gyuygens (1651) Kvadrat Giperbolalar teoremasi, Ellipsis va Circuli
  • Jan-Eten Montukla (1873) Doira kvadratining tarixi, J. Babin tarjimoni, Uilyam Aleksandr Myers muharriri, HathiTrust dan havola.
  • Kristof Skriba (1983) "Gregorining yaqinlashtiruvchi juftlik ketma-ketligi: Gyuygens va Gregori oʻrtasidagi aylananing „analitik“ kvadraturasi boʻyicha tortishuvlarga yangi qarash", Historia Mathematica 10:274-85.