Maxwellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori

Vaqt birligidagi impuls oʻzgarishi taʼsir qiluvchi kuchga tengdir. Demak,

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\textbf {g}}_{m}+{\textbf {g}}_{s}\right)={\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}};\ \ \ \ \ \ \ (1)$

tenglamaga muvofiq, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi ${\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}$ bilan bogʻlangan boʻladi. U vaqtda,

$\oint {\textbf {T}}_{n}d\sigma =\int {\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}dV;\ \ \ \ \ \ \ (2)$

ifodadan koʻrish mumkinki, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlarni shu hajmni chegaralovchi yopiq sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar bilan almashtirish mumkin. Shu sababli elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori $^{(2)}{\textbf {T}}$ Maksvellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori deb ham yuritiladi. Bu tenglamaning komponentlari:

$T_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),$

$T_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),$

$T_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),$

$T_{yx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),$

$T_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),$

$T_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),$

$T_{zx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),$

$T_{zy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),$

$T_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3)$;

Maksvell tenzori uchun

${\textbf {T}}_{n}=({\textbf {T}}_{x}{\textbf {n}}){\textbf {i}}+({\textbf {T}}_{y}{\textbf {n}}){\textbf {j}}+({\textbf {T}}_{z}{\textbf {n}}){\textbf {k}};\ \ \ \ \ (4)$

ga asosan quyidagilarni yozish mumkin:

$T_{nx}=T_{xx}n_{x}+T_{xy}n_{y}+T_{xz}n_{z},$

$T_{ny}=T_{yx}n_{x}+T_{yy}n_{y}+T_{yz}n_{z},$

$T_{nz}=T_{zx}n_{x}+T_{zy}n_{y}+T_{zz}n_{z},\ \ \ \ \ \ \ (5)$

Maksvellning elektr kuchlanishlar tenzori

Elektr maydon yoʻnalishi x oʻqining yoʻnalishi bilan mos tushsin (1-rasm). Kuchlanganlik vektori ${\textbf {E}}$ va elementar yuzacha normalining ${\textbf {n}}$ orti qogʻoz sirtida yotsin, ular orasidagi burchak $\varphi$ boʻladi, y oʻqi, demak, ${\textbf {j}}$ ort qogʻoz sirtiga perpendikulyar qilib olinsa, z oʻqi, yaʼni ${\textbf {k}}$ ort rasmda koʻrsatilganidek yoʻnalgan boʻladi.

Agar faqatgina elektr maydongina mavjud deb qaralsa, u holda:

$E_{x}=E,\ \ \ E_{y}=0,\ \ \ E_{z}=0,$

$H_{x}=0,\ \ \ H_{y}=0,\ \ \ H_{z}=0;\ \ \ \ \ \ \ (6)$

Normal ortining komponentlari esa

$n_{x}=\cos \varphi ,\ \ \ n_{y}=0,\ \ \ n_{z}=\sin \varphi ;\ \ \ \ \ \ \ (7)$

Maksvell tenzori komponentlari (6) va (7) ga muvofiq:

$T_{xx}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xy}=0,\ \ \ T_{xz}=0,$

$T_{yx}=0,\ \ \ T_{yy}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xz}=0,$

$T_{zx}=0,\ \ \ T_{zy}=0,\ \ \ T_{zz}={\frac {E^{2}}{8\pi }};\ \ \ \ \ \ \ (8)$