Runge–Kutta usuli: Versiyalar orasidagi farq
Kontent oʻchirildi Kontent qoʻshildi
Tahrir izohi yoʻq |
Tahrir izohi yoʻq |
||
Qator 15:
: <math> \textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6}(\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4) </math>
Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi
: <math> \textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right), </math>
: <math> \textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right), </math>
: <math> \textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right), </math>
: <math> \textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h\ \textbf{k}_3 \right). </math>
bu yerda
Ushbu usul
== Runge-Kuttaning oshkor metodlari ==
Runge-Kuttaning oshkor metodlari sinfi, Eylerning oshkor metodlari hamda toʻrtinchi tartibli Runge-Kutta metodlarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi:
: <math> \textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i, </math>
bu yerda <math>h</math> — toʻr qadamining <math>x</math> boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi <math>s</math> bosqichlarda amalga oshiriladi:
: <math>\begin{array}{ll}
\textbf{k}_1 =& \textbf{f}(x_n, \textbf{y}_n),\\
\textbf{k}_2 =& \textbf{f}(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1),\\
\cdots&\\
\textbf{k}_s =& \textbf{f}(x_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1})
\end{array} </math>
Aniq metod, <math>s</math> soni va <math>b_i, a_{ij}</math> hamda <math>c_i</math> koeffitsiyentlar orqali aniqlanadi. Ushbu koeffitsiyentlar Butcher jadvali deb ataluvchi jadvalni hosil qiladi:
: <math>\begin{array}{c|ccccc}
0 &&&&&\\
c_2 & a_{21} &&&&\\
c_3 & a_{31} & a_{32} &&&\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots&&\\
c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss-1}&\\
\hline & b_1 & b_2 & \dots & b_{s-1} & b_s
\end{array} </math>
Runge-Kutta metodi koeffitsiyentlari uchun <math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i</math> dlya <math> i=2, \ldots, s</math> shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi <math>p</math> -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim:
: <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)- {\textbf{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1}),</math>
bu yerda <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)</math> — Runge-Kutta metodi orqali olingan yaqinlashish. Ko'p martalab differensiallashdan so'ng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.
| |||