Runge–Kutta usuli — versiyalar orasidagi farq

tahrir izohi yoʻq
k (Malikxan Runge-Kutta metodi sahifasini Runge–Kutta usuliga koʻchirdi)
 
{{manba}}
'''Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli''' — [[oddiy differensial tenglamalar]] va tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]]ni yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari K.[[Carl Runge]] va M.V.[[Wilhelm Kutta]] tomonidan taklif qilingan.
 
Runge-KuttaRunge–Kutta metodlariusullari toʻplamiga EylerningEulerning oshkor metodiusuli va EylerningEulerning modifikatsiyalangan metodlariusullari kiradi. Ushbu usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar ([[Maple]], [[MathCAD]], [[Maxima]]) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi.
 
Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.
 
== Toʻrtinchi tartibli klassik Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli ==
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi.
 
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun [[Koshi masalasi]] ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda <math>\mathbf{y},\ \mathbf{f},\ \mathbf{k}_{i}\in\mathbb{R}^{n}</math>).
 
 
== Runge-KuttaningRunge–Kuttaning oshkor metodlariusullari ==
Runge-KuttaningRunge–Kuttaning oshkor metodlariusullari sinfi, EylerningEulerning oshkor metodlariusullari hamda toʻrtinchi tartibli Runge-KuttaRunge–Kutta metodlariningusullarining umumlashgan koʻrinishi hisoblanadi. Ushbu metod quyidagi formula orqali beriladi:
: <math> \textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i, </math>
bu yerda <math>h</math> — toʻr qadamining <math>x</math> boʻyicha kattaligi. Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi <math>s</math> bosqichlarda amalga oshiriladi:
\end{array} </math>
 
Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli koeffitsiyentlari uchun <math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i</math> dlya <math> i=2, \ldots, s</math> shart bajarilishi kerak. Agar metod aniqligi <math>p</math> -tartibli boʻlishi kerak boʻlsa, qoʻshimcha tarzda quyidagi shart ham bajarilishi lozim:
: <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)- {\textbf{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1}),</math>
 
bu yerda <math>\bar{\textbf{y}}(h+x_0)</math>  Runge-KuttaRunge–Kutta metodiusuli orqali olingan yaqinlashish.
 
Ko'pKoʻp martalab differensiallashdan so'ngsoʻng ushbu shart, metod koeffitsiyentlariga nisbatan polinomial tenglamalar sistemasiga aylanadi.