Pozitsiya va Impuls fazosi

Fizika va geometriyada ikkita chambarchas bog'liq vektor bo'shliqlari mavjud, odatda uch o'lchovli, lekin umuman olganda har qanday chekli o'lchovli. Pozitsiya fazosi (shuningdek, real fazo yoki koordinata fazosi) fazodagi barcha pozitsiya vektorlari r to'plami bo'lib, uzunlik o'lchamlariga ega; pozitsiya vektori fazodagi nuqtani belgilaydi. (Agar nuqtali zarrachaning joylashuv vektori vaqt o'tishi bilan o'zgarib tursa, u zarrachaning yo'lini, traektoriyasini aniqlaydi.) Impuls fazosi - fizik sistema ega bo'lishi mumkin bo'lgan barcha impuls vektorlari p to'plami; zarraning impuls vektori uning harakatiga mos keladi, birliklari [massa][uzunlik][vaqt] ⁻¹.

Matematik nuqtai nazardan, pozitsiya va impuls o'rtasidagi ikkilik Pontryagin dualligining namunasidir. Xususan, agar funksiya pozitsiya fazosida f (r) berilgan bo'lsa, u holda uning Furye konvertatsiyasi impuls fazosida ph (p) funksiyani oladi. Aksincha, impuls fazosi funksiyasining teskari Furye konvertatsiyasi pozitsiya fazosi funksiyasidir.

Bu miqdorlar va g'oyalar barcha klassik va kvant fizikasidan ustundir va fizik tizimni tashkil etuvchi zarrachalarning pozitsiyalari yoki ularning momentlari yordamida tasvirlash mumkin, har ikkala formula ham ko'rib chiqilayotgan tizim haqida bir xil ma'lumot beradi. Yana bir miqdor to'lqinlar kontekstida aniqlash uchun foydalidir. To'lqin vektori k (yoki oddiygina " k -vektor") o'zaro uzunlikdagi o'lchamlarga ega bo'lib, uni o'zaro vaqt o'lchamlariga ega bo'lgan ō burchak chastotasining analogiga aylantiradi. Barcha to'lqin vektorlari to'plami k-fazodir. Odatda r k ga qaraganda intuitivroq va soddaroqdir, ammo buning aksi ham to'g'ri bo'lishi mumkin, masalan, qattiq jismlar fizikasida.

Kvant mexanikasi pozitsiya va impuls o'rtasidagi ikkilanishning ikkita asosiy misolini keltiradi: Geyzenberg noaniqlik printsipi $\Delta$x $\Delta$p ≥ ħ /2 pozitsiya va impulsni bir vaqtning o'zida ixtiyoriy aniqlik bilan bilish mumkin emasligini va de Broyl munosabati p = ħk. erkin zarrachaning impulsi va to'lqin vektori o'zaro proportsionaldir. Shu nuqtai nazardan, bir ma'noli bo'lsa, " impuls " va "to'lqin vektor" atamalari bir-birining o'rnida ishlatiladi. Biroq, de Broyl munosabati kristalda to'g'ri emas.

Klassik mexanikada pozitsiya va impuls fazolari

Lagranj mexanikasi

Ko'pincha Lagranj mexanikasida Lagrangian L (q, d q / dt, t) konfiguratsiya maydonida bo'ladi, bu erda q = (q ₁, q ₂ ,..., q _n) umumlashtirilgan koordinatalarning $\eta$ - tuplesidir.. Eyler-Lagranj harakat tenglamalari

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,,\quad {\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}}\,.$$

(Bir haddan tashqari nuqta bir martalik hosilani bildiradi). Har bir umumlashtirilgan koordinata uchun kanonik impuls ta'rifini kiritish

$$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,$$

Eyler-Lagranj tenglamalari shaklni oladi

$${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\,.$$

Lagrangian impuls fazosida ham ifodalanishi mumkin, L ′(p, d p / dt, t), bu erda p = (p ₁, p ₂,..., p _n) n -tupledir. umumlashtirilgan moment. Lagranjning umumlashtirilgan koordinata fazosining umumiy differentsialidagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish uchun Legendre transformatsiyasi amalga oshiriladi;

$$dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,$$

Bu erda umumlashtirilgan impulsning ta'rifi va Eyler-Lagrange tenglamalari L ning qisman hosilalari o'rnini egalladi. Differensiallar uchun mahsulot qoidasi umumlashtirilgan koordinatalar va tezliklardagi differentsiallarni umumlashtirilgan momentdagi differentsiallar va ularning vaqt hosilalari bilan almashish imkonini beradi,

$${\dot {p}}_{i}dq_{i}=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}$$

$$p_{i}d{\dot {q}}_{i}=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}$$

almashtirilgandan so'ng soddalashtiriladi va qayta tartibga solinadi

$$d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.$$

Endi impuls fazosining to'liq differensiali Lagranjian L ′ dir

shuning uchun lagranjlarning differensiallarini, momentlarini va ularning vaqt hosilalarini solishtirganda, mos ravishda, L ' impuls fazosi va L dan olingan umumlashtirilgan koordinatalar.

$$L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.$$

Oxirgi ikkita tenglamani birlashtirib, impuls fazosi Eyler-Lagrange tenglamalarini beradi

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.$$

Legendre transformatsiyasining afzalligi shundaki, bu jarayonda yangi va eski funksiyalar va ularning o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'liqlik olinadi. Tenglamaning koordinata va impuls shakllari ham ekvivalent bo'lib, tizimning dinamikasi haqida bir xil ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Ushbu shakl momentum yoki burchak momenti Lagrangianga kirganda foydaliroq bo'lishi mumkin.

Gamilton mexanikasi

Gamilton mexanikasida, barcha koordinatalardan yoki momentdan foydalanadigan Lagranj mexanikasidan farqli o'laroq, harakatning Gamilton tenglamalari koordinatalar va momentlarni teng asosda joylashtiradi. Gamiltonian H (q, p, t) boʻlgan sistema uchun tenglamalar

$${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.$$

Kvant mexanikasidagi pozitsiya va impuls fazolari

  Kvant mexanikasida zarracha kvant holati bilan tavsiflanadi. Bu kvant holatini asosiy holatlarning superpozitsiyasi (ya'ni vaznli yig'indi sifatida chiziqli birikma) sifatida ko'rsatish mumkin. Printsipial jihatdan bazaviy holatlar to'plamini tanlash erkindir, agar ular bo'sh joyni qamrab olsa. Pozitsiya operatorining xos funksiyalari bazis funksiyalar toʻplami sifatida tanlansa, holat haqida pozitsiya fazosida toʻlqin funksiyasi ψ(r) sifatida soʻz boradi (uzunlik boʻyicha fazo haqidagi oddiy tushunchamiz). r pozitsiyasi bo'yicha tanish bo'lgan Shredinger tenglamasi pozitsiyani tasvirlashda kvant mexanikasiga misoldir.

Bazis funksiyalar toʻplami sifatida boshqa operatorning xos funksiyalarini tanlab, bir xil holatning bir qancha turli koʻrinishlariga erishish mumkin. Agar impuls operatorining xos funksiyalari bazis funksiyalar to'plami sifatida tanlansa, natijada to'lqin funksiyasi $\phi (\mathbf {k} )$ impuls fazosidagi to’lqin funksiyasi deyiladi.

Kvant mexanikasining o'ziga xos xususiyati shundaki, fazali bo'shliqlar turli xil bo'lishi mumkin: diskret o'zgaruvchan, rotor va doimiy o'zgaruvchan. Quyidagi jadvalda uch turdagi fazali bo'shliqlar bilan bog'liq ba'zi munosabatlar jamlangan.

Diskret o'zgaruvchan (DV), rotor (ROT) va uzluksiz o'zgaruvchan (CV) fazalardagi konjugat o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni taqqoslash va xulosa qilish (arXiv: 1709.04460 dan olingan). Jismoniy jihatdan tegishli faza bo'shliqlarining ko'pchiligi ushbu uchtasining kombinatsiyasidan iborat. Har bir faza maydoni pozitsiya va impulsdan iborat bo'lib, ularning mumkin bo'lgan qiymatlari mahalliy ixcham Abel guruhidan va uning dualidan olinadi. Kvant mexanik holat har ikkala o'zgaruvchi nuqtai nazaridan to'liq ifodalanishi mumkin va pozitsiya va impuls bo'shliqlari o'rtasida o'tish uchun ishlatiladigan transformatsiya, uchta holatning har birida Furye konvertatsiyasining bir variantidir. Jadvalda kanonik kommutatsiya munosabatlarini (CCR) tavsiflovchi matematik terminologiya bilan bir qatorda bra-ket belgilaridan foydalaniladi.

Fazo va o'zaro makon o'rtasidagi munosabat

To'lqin funksiyasining momentum ifodasi Furye transformatsiyasi va chastota sohasi tushunchasi bilan juda chambarchas bog'liq. Kvant-mexanik zarracha impulsga mutanosib chastotaga ega boʻlganligi uchun (yuqorida berilgan de-Broyl tenglamasi), zarrachani impuls komponentlari yigʻindisi sifatida tasvirlash uni chastota komponentlari yigʻindisi (yaʼni Furye konvertatsiyasi) sifatida tasvirlashga tengdir. Bu biz o'zimizdan qanday qilib bir vakillikdan ikkinchisiga o'tishimiz mumkinligini so'raganimizda aniq bo'ladi.

Pozitsiya fazosidagi funksiyalar va operatorlar

Faraz qilaylik, bizda ψ(r) pozitsiya fazosida uch oʻlchamli toʻlqin funksiyasi bor, u holda bu funksiyalarni ortogonal bazis funksiyalarining ψ_j(r) vaznli yigʻindisi sifatida yozishimiz mumkin:

$$\psi (\mathbf {r} )=\sum _{j}\phi _{j}\psi _{j}(\mathbf {r} )$$

yoki uzluksiz holatda integral sifatida

$$\psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k}$$

Agar funksiyalar to'plamini ko'rsatsak, bu aniq $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$, impuls operatorining xos funksiyalar toʻplami sifatida aytaylik, funksiya $\phi (\mathbf {k} )$ ψ(r) ni qayta qurish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun davlat uchun muqobil tavsifdir $\psi$.

Kvant mexanikasida impuls operatori tomonidan berilgan

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$$

(maxraj belgisi uchun matritsa hisobiga qarang) tegishli domen bilan. Xususiy funksiyalar

$$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$

va xos qiymatlar ħ k. Shunday qilib

$$\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {k} {\text{-space}}}\phi (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k}$$

Impuls fazosidagi funksiyalar va operatorlar

Aksincha, impuls fazosida uch o'lchovli to'lqin funksiyasi $\phi (\mathbf {k} )$ ortogonal bazis funksiyalarining vaznli yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin $\phi _{j}(\mathbf {k} )$ ,

$$\phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} ),$$

yoki integral sifatida,

$$\phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .$$

Pozitsiya operatori tomonidan berilgan

$$\mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}$$

xos funksiyalar bilan

$$\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\right)^{3}}}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$

va xos qiymatlar r. Shunday qilib, shunga o'xshash parchalanish $\phi (\mathbf {k} )$ teskari Furye konvertatsiyasi bo'lib chiqadigan ushbu operatorning xos funksiyalari nuqtai nazaridan amalga oshirilishi mumkin,

$$\phi (\mathbf {k} )={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathbf {r} {\text{-space}}}\psi (\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} .$$

Pozitsiya va impuls operatori o'rtasidagi unitar ekvivalentlik

r va p operatorlari unitar ekvivalentdir, unitar operator Furye konvertatsiyasi, ya'ni osilator Gamiltonian tomonidan yaratilgan chorak tsiklli aylanish fazasi orqali aniq berilgan. Shunday qilib, ular bir xil spektrga ega. Jismoniy tilda impuls fazo toʻlqini funksiyalariga ta’sir etuvchi p pozitsion fazo toʻlqin funksiyalariga ta’sir etuvchi r bilan bir xil (Furye konvertatsiyasi tasviri ostida).

O'zaro bo'shliq va kristallar

Kristaldagi elektron (yoki boshqa zarracha) uchun uning k qiymati deyarli har doim uning kristall impulsiga bog'liq bo'ladi, uning normal momentumiga emas. Shuning uchun, k va p oddiy proportsional emas, balki turli rollarni bajaradi. Misol uchun k·p tebranish nazariyasiga qarang. Kristal impuls to'lqin konvertiga o'xshaydi, u to'lqinning bir hujayradan ikkinchisiga o'zgarishini tavsiflaydi, lekin har bir birlik hujayra ichida to'lqin qanday o'zgarishi haqida hech qanday ma'lumot bermaydi.

Agar k haqiqiy impuls o'rniga kristall impuls bilan bog'liq bo'lsa, k - fazo tushunchasi hali ham mazmunli va juda foydali, ammo u yuqorida muhokama qilingan kristal bo'lmagan k - fazodan bir necha jihatdan farq qiladi. Masalan, kristallning k -fazosida o'zaro panjara deb ataladigan cheksiz nuqtalar to'plami mavjud bo'lib, ular k = 0 ga "ekvivalent" (bu boshqa nomga o'xshash). Xuddi shunday, " birinchi Brilyuen zonasi " ham k -fazoning cheklangan hajmi bo'lib, har bir mumkin bo'lgan k ushbu mintaqadagi aniq bir nuqtaga "ekvivalent" bo'ladi.

Yana qarang

• Faza maydoni
• O'zaro bo'shliq
• Konfiguratsiya maydoni
• Fraktsion Furye konvertatsiyasi