Cauchy–Schwarz tengsizligi

Cauchy–Schwarz (o'qilishi: Koshi-Shvarz) tengsizligi (ba'zida Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz (o'qilishi: Koshi-Bunyakovskiy-Shvarz) tengsizligi) matematikadagi eng muhim va keng qo'llaniladigan tengsizliklardan biri sifatida qaraladi.

Yig'indilar uchun tengsizlik Augustin-Louis Cauchy tomonidan 1821-yilda nashr etilgan. Integrallar uchun mos keladigan tengsizlik Viktor Bunyakovsky tomonidan 1859-yilda va Hermann Schwarz tomonidan 1888-yilda nashr etilgan. Schwarz integral ko'rinishdagi tengsizlikning zamonaviy isbotini keltirgan.

Tengsizlik bayoniTahrirlash

Cauchy-Schwarz tengsizligi barcha ichki ko'paytma aniqlangan fazodagi barcha   va   vektorlar uchunAndoza:NumBlktengsizlikning o'rinli ekanligini ta'kidlaydi, bu yerda   ichki ko'paytma hisoblanadi. Ichki ko'paytmalarga misollar haqiqiy va kompleks nuqtali ko'paytmalarni o'z ichiga oladi. Ichki ko'paytma mavzusidagi misollarga qarang. Har bir ichki ko'paytma kanonik yoki keltirilgan norma deb ataladigan normani keltirib chiqaradi, bu yerda   vektorning vektor normasi quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:

 
Bu norma va ichki ko'paytma   aniqlovchi shart bilan o'zaro bog'langan bo'lib, bu yerda   har doim nomanfiy haqiqiy son bo'ladi (hattoki ichki ko'paytma kompleks qiymatli bo'lsa ham). Yuqoridagi tengsizlikning har ikki tomonining kvadrat ildizini olib, Cauchy-Schwarz tengsizligini uning koʻproq tanish bo'lgan koʻrinishida yozish mumkin:Andoza:NumBlkBundan tashqari, tengsizlikning ikkala tomoni faqat va faqat   va   lar bir-biriga chiziqli bog'liq bo'lsagina bir-biriga teng bo'ladi.

Maxsus holatlarTahrirlash

Sedrakyan lemmasi - musbat haqiqiy sonlarTahrirlash

R 2 - TekislikTahrirlash

R n - n -o'lchovli Evklid fazosiTahrirlash

C n - n -o'lchovli Kompleks fazoTahrirlash

Qo'llanilishiTahrirlash

TahlilTahrirlash

GeometriyaTahrirlash

Ehtimollar nazariyasiTahrirlash

DalillarTahrirlash

Haqiqiy ichki ko'paytmali fazolar uchunTahrirlash

Nuqtali ko'paytma uchun dalilTahrirlash

Ixtiyoriy vektor fazolar uchunTahrirlash

Isbot 1Tahrirlash

Let   and   so that   and   Then

 

This expansion does not require   to be non-zero; however,   must be non-zero in order to divide both sides by   and to deduce the Cauchy-Schwarz inequality from it. Swapping   and   gives rise to:

 
and thus
 

Isbot 2Tahrirlash

UmumlashtirishlarTahrirlash

Yana qarangTahrirlash

ManbalarTahrirlash

ManbalarTahrirlash

HavolalarTahrirlash