Dirixle alomati (testi)

Matematikada Dirixlet alomati (testi) qatorlarning yaqinlashuvchiligini tekshirish usuli hisoblanadi. U oʻz muallifi Peter Gustav Lejeune Dirixle sharafiga nomlangan va 1862-yilda Journal de Mathématiques Pures et Appliquées jurnalida muallifning vafotidan keyin nashr etilgan.

Sharti

Agar $\{a_{n}\}$ haqiqiy sonlar ketma- ketligi va $\{b_{n}\}$ kompleks sonlar ketma-ketligi

• $\{a_{n}\}$ monoton o'smovchi (monoton o'smaydigan)
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$
• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$, barcha musbat butun N uchun

shartlarni qanoatlantirsa, u holda

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$$

qator yaqinlashadi, bu yerda M qandaydir konstanta.

Isbot

${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ va ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ bo'lsin.

Qismlar bo'yicha yig'ish natijasida ${\textstyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ ni hosil qilamiz. $B_{n}$ ning M bilan chegaralanganligi va $a_{n}\to 0$ bo'lganligi uchun, bu hadlarning birinchisi $n\to \infty$ da nolga yaqinlashadi, $a_{n}B_{n}\to 0$.

Har bir k uchun, $|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|$ munosabat o'rinli. Ammo, agar $\{a_{n}\}$ kamayuvchi bo'lsa,

$$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$

teleskopik yig'indi $M(a_{1}-a_{n+1})$ ga teng bo'ladi va shuning uchun $n\to \infty$ da $Ma_{1}$ ga yaqinlashadi. Shunday qilib, ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ yaqinlashuvchi bo'ladi. Shuningdek, agar $\{a_{n}\}$ o'suvchi bo'lsa,

$$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$

teleskopik yig'indi $-M(a_{1}-a_{n+1})$ ga teng bo'lib, $n\to \infty$ da $-Ma_{1}$ ga yaqinlashadi. Shunday qilib, yana, ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ yaqinlashuvchi bo'ladi.

Natijada, ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|}$ to'g'ridan- to'g'ri taqqoslash alomati natijasida yaqinlashuvchi bo'ladi. ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ qator esa absolyut yaqinlashish alomati natijasida yaqinlashadi. Shuning uchun $S_{n}$ yaqinlashuvchi bo'ladi.

Ilovalar

Dirixle alomatining xususiy holatlaridan biri bu amalda ko'proq qo'llaniladigan o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashish alomatidir

$$b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.$$

Yana bir natija shuki, agar $\{a_{n}\}$ nolga yaqinlashadigan kamayuvchi ketma-ketlik bo'lsa, u holda ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ qator yaqinlashuvchi bo'ladi.

Xosmas integrallar

Xosmas integrallarning o'xshash yaqinlashuvchilik sharti bo'laklab integrallash yordamida isbotlangan. Agar f funksiyaning integrali barcha oraliqlarda tekis chegaralangan bo'lsa va g monoton kamayuvchi manfiy bo'lmagan funksiya bo'lsa, fg ning integrali yaqinlashuvchi xosmas integral bo'ladi.

Manbalar

• Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
• Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X.

Havolalar

• Isbot PlanetMath.org saytida