Yassi toʻlqin

Yassi elektromagnit toʻlqin — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan $z$ ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi toʻlqin to'lqin frontining uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi

Yassi elektromagni toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

${\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial t}};\ \ \ \ \ (1)$

${\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0;\ \ \ \ \ (2)$

Toʻlqin tenglamasining yechimi

(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi $\xi$ va $\eta$ oʻzgaruvchilar kiritiladi:

$\xi =z+ct;\ \ \ \ \ (3)$

$\eta =z-ct;\ \ \ \ \ (4)$

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:

$\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)f=0;\ \ \ \ \ (5)$

(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,

${\dfrac {\partial }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial z}}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}{\dfrac {\partial \eta }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}$

${\dfrac {\partial }{\partial t}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}+{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}=c{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-c{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}=c\left({\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}\right)$

Demak,

${\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}$

${\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}$

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq

${\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}=0;\ \ \ \ \ (6)$

Bu toʻlqin tenglamani avval $\xi$ boʻyicha integrallanadi: ${\dfrac {\partial f}{\partial \eta }}=C_{1}(\eta )$, keyin esa $\eta$ boʻyicha integrallanadi: $f=\int C_{1}(\eta )d\eta +C_{2}(\xi )$, yaʼni

$f=f_{1}(\xi )+f_{2}(\eta );\ \ \ \ \ (7)$

yoki (3) bilan (4) ga binoan,

$f=f_{1}(z+ct)+f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (8)$

boʻladi. Bu yerda $f_{1}$ va $f_{2}$ ixtiyoriy funksiyalardir.

Toʻlqin tenglamaning mohiyati

Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar $z-ct=const$ boʻlsa, $f_{2}=const$ boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ ga mos koordinata $z_{0}$ desak, $z-ct=z_{0}$ boʻladi. Bu formula esa $z$ koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab $c$ oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ va boshlangʻich koordinata $z=z_{0}$ nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, $t$ vaqt oʻtgandan keyin $z=z_{0}+ct$ koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni $f_{2}(z_{0})=f_{2}(z-ct)$ boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati $z$ oʻqi boʻylab $c$ texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan $f_{2}(z-ct)$ funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, $f_{1}(z+ct)$ funksiya esa $z$ koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.