Metallar elektr o‘tkazuvchanligining klassik elektron nazariyasi

Har qanday metallning kristall panjara tugunlarini tashkil etgan atomlar, ionlar oralig'ida erkin harakatda bo'lgan elektronlar, gazlarning molekular-kinetik nazariyasida aytilgandek, to'qnashishlar natijasida xaotik (tartibsiz) harakatda bo'ladi. Bu elektronlar har bir m om entda turli yo'nalishda tugunlarga to'qnashib bir tomonga yo'nalgan elektron guruhi bo'lm agani uchun o'tkazgichdan elektr tok o'tishi ro‘y bermaydi, ya’ni tok bo'lmaydi. Agar shu o'tkazgichlarning ikki uchini potensiallari $\varphi _{1}$ va $\varphi _{2}$ bo'lgan tok manbai qutblariga^ulastuc, metall ichida hosil bo'lgan elektr maydon hamma elektronlarga ${\vec {F}}=e{\vec {E}}$ kuch bilan bir yo'nalishda ta ’sir etib, musbat qutb tom on tezlanuvchan harakatga keltiradi, o'tkazgichnir.g ko'ndalang kesim yuzi orqali vaqt birligi ichida o'tgan zaryad miqdori $I={\frac {q}{t}}$ tok kuchi o'tishiga olib keladi.

Drude — Lorenslaming klassik nazariyalari bo'yicha tartibsiz $v$ tezlik bilan harakatda bo'lgan elektronlar har bir atomli gaz molekulaiari kabi issiqlik harakat energiyasi ${\frac {mc^{2}}{2}}$ ga ega bo'lib, kinetik nazariyaga asosan:

$${\frac {mc^{2}}{2}}={\frac {3}{2}}kT$$

Bu tenglamalarda $m=9.1\cdot 10^{-31}kg,T=273K,k=1.38\cdot 10^{-23}{\frac {J}{K}}$ qiymatlardan foydalanib, zaryadning issiqlik harakat dagi tezligini hisoblay olamiz:

$${\sqrt {v^{2}}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}=10^{5}{\frac {m}{c}}$$

Elektroiming o ‘rtacha erkin yugurish yo'li uzunligi $\langle \lambda \rangle$ bo‘lsa, erkin yugurish o‘rtacha vaqti  $\langle \tau \rangle ={\frac {\langle \lambda \rangle }{v}}$ bo'ladi

Ammo elektron uchun $\langle \lambda \rangle$ ning qiymati nomaMum, uni panjara doimiysi d dan bir necha 10 marta katta deb olish mumkin. Eiektronning panjara ionlari bilan ikki ketma-ket to ‘qnashishi uchun o'tgan vaqtjchidagi tezlik o'zgarishi Nyuton qonuniga ko‘ra ${\vec {F}}\langle \tau \rangle =m\bigtriangleup {\vec {v}}$ va ${\vec {F_{\epsilon }}}=e{\vec {E}}$ bo'lgani uchun:

$$\bigtriangleup {\vec {v}}={\frac {F}{m}}\langle \lambda \rangle ={\frac {e}{m}}\langle \lambda \rangle {\vec {E}}$$

Elektron dreyfining tezligi zanjir ulanish m om entda nol, to ‘qnashish mom entda maksimal bolib, u

$$v_{M}={\frac {e}{m}}\langle \tau \rangle E$$

ga teng. Tezliklarining o‘rta qiymatini aniqlasak,

$$\langle v\rangle ={\frac {v_{0}+v_{M}}{2}}={\frac {e}{2m}}\langle \tau \rangle E$$

boladi. Hisoblashlarga asosan, u quyidagiga teng:

$$\langle v\rangle =0.001{\frac {m}{c}}$$

Agar tok zichligi formulasi $j=n_{0}e\langle v\rangle$ ga $\langle v\rangle$ ning ifodasini qo'ysak Om qonuni kelib chiqadi

$j={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}E$ yoki $j=\sigma E$ Bu ifodadan ko‘rinadiki, tok zichligi elektr maydon kuchlanganligiga to ‘g‘ri proporsional. Bu Om qonunining differensial ifodasidir. Bundagi klassik elektron nazariya asosida chiqqan solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik

$$\sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}$$

metallarning hajm birligidagi erkin elektronlar soniga va o'rtacha erkin

yugurish yo‘l uzunligiga to ‘g‘ri proporsional. Amalda ko‘pincha solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik $\sigma$ o'rnida uning teskari qiymati ${\frac {1}{\sigma }}$ ni solishtirma

aqarshilik $\rho$ yoziladi. $\sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}$ formuladan ko'rinadiki, agar elektron panjaradagi ionlar bilan to ‘qnashmasa, erkin yugurish yo‘li cheksizlikka intiladi, demak, solishtirma elektr o‘tkazuvchanlik ham cheksizlikka intilgan bo‘lar edi $n_{0}$ Avogadro soni $N_{A}$ ga nisbatan ${\frac {n_{0}}{N_{A}}}$ metall zichligi d ning atom massasi soni A ga nisbatiga teng: ${\frac {n_{0}}{N_{A}}}={\frac {d}{A}}$ natijada $j=n_{0}ev$ dan $v={\frac {j}{en_{0}}}={\frac {jA}{edN_{A}}}$ bo'ladi

K o‘pincha metallar uchun zichlik atom og'irligining zichlikka nisbati ${\frac {A}{d}}=10$ dan oshmaydi Bir moidagi ionlar (elektronlar) zaryadning miqdori $q=N_{A}e=6.02\cdot 10^{23}mol^{-1}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}C=9.63\cdot 10^{4}C/mol\approx 10^{5}C/mol$

Agar metall simdan o'tayotgan tokning zichligi 107 A/m.2 bo'lsa, elektronning tartibsiz harakat tezligi 10~’ m/s ga teng boiadi. Demak, bunday tezlik bilan harakatlanayotgan elektron qanday qilib zanjir ulanishi bilan ancha uzoqqa tez yetib boradi? Bu vaqtda elektron emas, balki u hosil qilayotgan elektr maydonning tarqalish tezligini o'tkazgich uzunligi bo'yicha tashkil etuvchisi katta tezlik bilan, ya’ni elektromagnit to'lqinining tezligi 10$^{8}$ m /s bilan tarqaladi. Klassik elektron nazariyadan foydalanib Joul — Lens qonunini ham keltirib chiqaraylik. Buning uchun elektronning tugundagi zarraga urilish oldidagi maksimal kinetik energiyasidagi tezlik o ‘rniga (3.6) ni qo‘ysak, quyidagi hosil bo‘ladi:

$$K={\frac {m}{2}}v_{M}^{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{2}\lambda ^{2}}{m}}E={\frac {e^{2}\langle \lambda \rangle ^{2}}{2mv_{M}^{2}}}E$$

U vaqtda o‘tkazgichning birlik hajmidagi elektronlar ${\frac {1}{\tau }}$ vaqtda bir marta uriladi va buning natijasida shuncha marta ko‘p issiqlik ajraladi. Vaqt birligi (1s) da ajralgan issiqlik miqdori:

$$Q_{1}={\frac {ne\tau ^{2}}{2m}}E$$

$\sigma ={\frac {n_{0}e^{2}\langle \tau \rangle }{2m}}={\frac {n_{0}e^{2}\langle \lambda \rangle }{2m\langle v\rangle }}$ ifodani olsak , $Q_{1}={\frac {ne\tau ^{2}}{2m}}E$ ifoda quyidagi ko'rinishni oladi :

$$Q_{1}=\sigma E^{2}={\frac {E^{2}}{\rho }}$$

Bu ifoda Joul — Lens qonunining differensialkoYinishini ifodalaydi. Demak, ajralayotgan issiqlik miqdori elektr maydon kuchlanganligining kvadratiga to‘g ‘ri proporsional ekan.

Bu ifodani sizga tanish bo‘lgan integral ko'rinishida ifodalash uchun uni o ‘tkazgich uzunligi / ga, ko'ndalang kesi S ga va tok o ‘tish vaqtiga ko‘paytiramiz:

$$Q=Q_{1}lSt={\frac {E^{2}}{\rho }}lSt={\frac {(El)^{2}}{\rho {\frac {l}{S}}}}t={\frac {U^{2}}{R}}t=IUt$$

kelib chiqadi.

Manbalar

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI J. KAMOLOV, I. ISMOILOV,U. BEGIMQULOV, S. AVAZBOYEV ELEKTR VА MAGNETIZM 5140200 — fizika va astronomiya bakalavriat yo‘nalishitalabalari uchun o ‘quv qo‘llanma 84-87 betlar