Nyuton dinamikasi

Fizikada Nyuton dinamikasi (Nyuton mexanikasi deb ham ataladi) Nyutonning harakat qonunlariga muvofiq zarracha yoki kichik jismning dinamikasini oʻrganuvchi fandir .

Matematik umumlashtirishlar

Odatda, Nyuton dinamikasi tekis boʻlgan uch oʻlchovli Evklid fazosida sodir boʻladi. Biroq, matematikada Nyutonning harakat qonunlarini koʻp oʻlchovli va egri boʻshliqlar uchun umumlashtirish mumkin. Koʻpincha Nyuton dinamikasi atamasi Nyutonning ikkinchi qonuniga toraytiriladi $\displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F}$.

Koʻp oʻlchovli fazoda Nyutonning ikkinchi qonuni

Oʻylab koʻring $\displaystyle N$ massali zarralar $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ muntazam uch oʻlchovli Evklid fazosida . Mayli $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ baʼzi inertial koordinatalar sistemasida ularning radius-vektorlari boʻlsin. Keyin bu zarralarning harakati ularning har biriga qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni bilan boshqariladi

${\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}=\mathbf {v} _{i},\qquad {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{N},t)}{m_{i}}},\quad i=1,\ldots ,N.(1)$

Uch oʻlchovli radius-vektorlar $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ bittaga tuzilishi mumkin $\displaystyle n=3N$ -oʻlchovli radius-vektor. Xuddi shunday, uch oʻlchovli tezlik vektorlari $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ bittaga tuzilishi mumkin $\displaystyle n=3N$ -oʻlchovli tezlik vektori:

$\mathbf {r} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\vdots \\\mathbf {r} _{N}\end{Vmatrix}},\qquad \qquad \mathbf {v} ={\begin{Vmatrix}\mathbf {v} _{1}\\\vdots \\\mathbf {v} _{N}\end{Vmatrix}}.(2)$

Koʻp oʻlchovli vektorlar nuqtai nazaridan (2) tenglamalar (1) quyidagicha yoziladi

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} ,\qquad {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t),(3)$

yaʼni ular birlik massaga ega boʻlgan bitta zarraga nisbatan qoʻllaniladigan Nyutonning ikkinchi qonuni shaklini oladi $\displaystyle m=1$ .

Taʼrif . Tenglamalar (3) yassi koʻp oʻlchovli Evklid fazodagi Nyuton dinamik tizimining tenglamalari deb ataladi, bu tizimning konfiguratsiya fazosi deb ataladi. Uning nuqtalari radius-vektor bilan belgilanadi $\displaystyle \mathbf {r}$ . Nuqtalari vektorlar juftligi bilan belgilangan fazo $\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ dinamik sistemaning fazo fazosi deyiladi (3).

Evklid tuzilishi

Dinamik sistemaning konfiguratsiya fazosi va faza fazosi (3) ikkalasi ham Evklid fazolari, yaʼni ular Evklid strukturasi bilan jihozlangan. Ularning Evklid tuzilishi shunday aniqlanadiki, birlik massaga ega boʻlgan yagona koʻp oʻlchovli zarrachaning kinetik energiyasi $\displaystyle m=1$ massalari bilan uch oʻlchamli zarralarning kinetik energiyalari yigʻindisiga teng $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ :

$T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}},(4)$

Cheklovlar va ichki koordinatalar

Ayrim hollarda zarrachalarning massalar bilan harakati $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ cheklanishi mumkin. Odatdagi cheklovlar shaklning skalyar tenglamalariga oʻxshaydi

$\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K.(5)$

Shaklning cheklovlari (5) golonomik va skleronomik deb ataladi. Radius-vektor nuqtai nazaridan $\displaystyle \mathbf {r}$ Nyuton dinamik sistemasining (3) kabi yoziladi

$\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K.(6)$

Har bir bunday cheklov Nyuton dinamik tizimining erkinlik darajalari sonini bittaga kamaytiradi (3). Shuning uchun, cheklangan tizim mavjud $\displaystyle n=3\,N-K$ erkinlik darajalari.

Taʼrif . Cheklash tenglamalari (6) an ni aniqlaydi $\displaystyle n$ — oʻlchovli manifold $\displaystyle M$ Nyuton dinamik tizimining konfiguratsiya maydoni ichida (3). Bu manifold $\displaystyle M$ cheklangan tizimning konfiguratsiya maydoni deb ataladi. Uning tangens toʻplami $\displaystyle TM$ cheklangan sistemaning faza fazosi deyiladi.

Mayli $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ nuqtaning ichki koordinatalari boʻlsin $\displaystyle M$ . Ulardan foydalanish Lagranj mexanikasi uchun xosdir. Radius-vektor $\displaystyle \mathbf {r}$ ning qandaydir aniq funksiyasi sifatida ifodalanadi $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$

$Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n.(7)$,

(7) vektor-funksiya cheklash tenglamalarini (6) ni (7) ni (6) ga almashtirganda (6) tenglamalar quyidagida bir xil bajariladi degan maʼnoda hal qiladi. $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ .

Tezlik vektorining ichki taqdimoti

Cheklangan Nyuton dinamik sistemasining tezlik vektori vektor-funksiyaning qisman hosilalari (7) bilan ifodalanadi:

$\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}.(8)$

Miqdorlar $\displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}$ tezlik vektorining ichki komponentlari deyiladi. Baʼzan ular alohida belgi yordamida belgilanadi

$\displaystyle {\dot {q}}^{i}=w^{i},\qquad i=1,\,\ldots ,\,n.(9)$

va keyin mustaqil oʻzgaruvchilar sifatida koʻrib chiqiladi. Miqdorlar

$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n},\,w^{1},\,\ldots ,\,w^{n}.(10)$

$\displaystyle TM$ — cheklangan Nyuton dinamik tizimining faza fazosi nuqtasining ichki koordinatalari sifatida ishlatiladi.

Oʻrnatish va induksiyalangan Riman metrikasi

Geometrik jihatdan vektor-funksiya (7) konfiguratsiya maydonini joylashtirishni amalga oshiradi $\displaystyle M$ Cheklangan Nyuton dinamik tizimining $\displaystyle 3\,N$ -cheklanmagan Nyuton dinamik tizimining oʻlchovli tekis konfiguratsiya fazosi (3). Bunday joylashtirish tufayli atrof-muhit fazosining Evklid tuzilishi Rieman metrikasini manifoldga induktsiya qiladi. $\displaystyle M$. Ushbu induksiyalangan metrikaning metrik tensorining komponentlari formula bilan berilgan

$\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right),(11)$

bu yerda $\displaystyle (\ ,\ )$ Evklid strukturasi bilan bogʻlangan skalyar mahsulotdir (4).

Cheklangan Nyuton dinamik tizimining kinetik energiyasi

Cheklanmagan tizimning Evklid tuzilishidan boshlab $\displaystyle N$ zarralar ularning kinetik energiyasi, konfiguratsiya fazosida induktsiyalangan Riman tuzilishi orqali kiritiladi. $\displaystyle N$ Cheklangan tizimning kinetik energiyaga munosabati saqlanib qoladi:

$g_{ij}={\frac {\partial ^{2}T}{\partial w^{i}\,\partial w^{j}}},(12)$

(12)-formula (8) ni (4) ga almashtirish va (11) ni hisobga olish orqali chiqariladi.

Cheklash kuchlari

Cheklangan Nyuton dinamik tizimi uchun (6) tenglamalar bilan tavsiflangan cheklovlar odatda baʼzi mexanik ramkalar tomonidan amalga oshiriladi. Ushbu ramka baʼzi yordamchi kuchlarni ishlab chiqaradi, shu jumladan tizimni konfiguratsiya manifoldida ushlab turadigan kuch. $\displaystyle M$ . Bunday ushlab turuvchi kuch perpendikulyar $\displaystyle M$ . $\displaystyle \mathbf {F}$ — bu normal kuch deb ataladi. kuch (6) dan ikki komponentga boʻlinadi

$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp },(13)$

$\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i},(14)$

Miqdorlar $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ da (14) kuch vektorining ichki komponentlari deyiladi.

Nyutonning egri fazodagi ikkinchi qonuni

Konfiguratsiya manifoltiga cheklangan Nyuton dinamik tizimi (3). $\displaystyle M$ cheklash tenglamalari (6) orqali differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi

${\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n.(15)$

bu yerda $\Gamma _{ij}^{s}$ Rieman metrikasi (11) tomonidan ishlab chiqarilgan metrik aloqaning Kristoffel belgilaridir .

Lagranj tenglamalariga munosabat

Cheklovli mexanik tizimlar odatda Lagrange tenglamalari bilan tavsiflanadi:

${\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {dw^{s}}{dt}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ij}^{s}\,w^{i}\,w^{j}=F^{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n.(16)$

bu yerda $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ kinetik energiya (12) formula bilan berilgan cheklangan dinamik tizimdir. Miqdorlar $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ da (16) tangens kuch vektorining ichki kovariant komponentlari $\mathbf {F} _{\parallel }$ (qarang (13) va (14)). Ular ichki kontravariant komponentlardan ishlab chiqariladi $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ vektorning $\mathbf {F} _{\parallel }$ metrik (11) yordamida standart indeksni pasaytirish protsedurasi yordamida:

$Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,(17)$

(16) tenglamalar (15) tenglamalarga teng. Biroq, konfiguratsiya manifoldining metrik (11) va boshqa geometrik xususiyatlari $\displaystyle M$ (16) da aniq emas. Metrik (11) kinetik energiyadan tiklanishi mumkin $\displaystyle T$ formula yordamida aniqlanadi:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}.(18)$