Oʻlchovlar nazariyasi

Oʻlchovlar nazariyasi — matematikaning oʻlchov tushunchasi hamda unga yaqin boʻlgan integral va ularning xossalarini oʻrganuvchi sohasi. Chekli oʻlchamli Yevklid fazosidagi ixtiyoriy toʻplam uchun oʻlchov tushunchasini birinchi boʻlib T.Kantor (1883) kiritgan. Fransuz matematigi E.Borel ilmiy ishlarida haqiqiy oʻzgaruvchining funksiyalari nazariyasi uchun fundamental boʻlgan fikrlarni keltirib, oʻlchovning quyidagi taʼrifini bergan (1898): 1) oʻlchov manfiy emas; 2) kesishmaydigan toʻplamlarning chekli yoki sanokli yigʻindisi oʻlchovi ularning oʻlchovlari yigʻindisiga teng; 3) toʻplam va uning qismi ayirmasining oʻlchovi oʻlchovlar ayirmasiga teng; 4) oʻlchovi noldan farqli toʻplamning quvvati sanoqsizdir. Toʻgʻri chiziqdagi oʻlchov (a, ) intervalning oʻlchovi — a ga teng. Ochiq toʻplamning oʻlchovi uni hosil qiluvchi intervallar oʻlchovining yigʻindisiga teng. Endi Ye s \a, \ toʻgʻri chiziqdagi ixtiyoriy toʻplam boʻlsin, S toʻplam Ye ni oʻz ichiga oluvchi ixtiyoriy ochiq toʻplam, t(S) uning oʻlchovi boʻlsin. Ushbu Me—’t/t(S) son Ye toʻplamning tashqi oʻlchovi deyiladi (bu yerda aniq quyi chegara Yeni oʻz ichiga oluvchi barcha ochiq toʻplamlar boʻyicha olingan). Ushbu t{E=—a—teSE son Ye toʻplamning ichki oʻlchovi deyiladi. Agar teYe=t.Ye boʻlsa, Ye toʻplam Lebeg masalasida oʻlchovli deyiladi va tYe hamda t^ygarning umumiy qiymati Ye ning oʻlchovi boʻladi. Shunga oʻxshash Lebeg maʼnosida oʻlchovli toʻplam va Lebeg oʻlchovi tushunchasi ixtiyoriy chekli oʻlchamli Evklid fazoda ham kiritiladi. Oʻlchovlar nazariyasida oʻrganiladigan muhim obʼyektlardan biri oʻlchovli funkchiyadir. Oʻlchovlar nazariyasida qiymatlari son emas, balki vektor boʻlgan oʻlchovlar va integrallar ham koʻriladi. Oʻlchovlar nazariyasi matematikaning deyarli hamma sohalariga tatbiq qilinadi.