Yassi toʻlqin

Yassi elektromagnit toʻlqin — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan $z$ ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi toʻlqin to'lqin frontining uch oʻlchamli fazodagi tasviri va fazaviy tezlik vektorining yoʻnalishi

Yassi elektromagnit toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:

${\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial t}};\ \ \ \ \ (1)$

${\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0;\ \ \ \ \ (2)$

Toʻlqin tenglamasining yechimi

(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi $\xi$ va $\eta$ oʻzgaruvchilar kiritiladi:

$\xi =z+ct;\ \ \ \ \ (3)$

$\eta =z-ct;\ \ \ \ \ (4)$

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:

$\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)f=0;\ \ \ \ \ (5)$

(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,

${\dfrac {\partial }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial z}}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}{\dfrac {\partial \eta }{\partial z}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}$

${\dfrac {\partial }{\partial t}}={\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}+{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}{\dfrac {\partial \xi }{\partial t}}=c{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-c{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}=c\left({\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}\right)$

Demak,

${\dfrac {\partial }{\partial \xi }}+{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \xi }}$

${\dfrac {\partial }{\partial \xi }}-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}=2{\dfrac {\partial }{\partial \eta }}$

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq

${\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial \xi \partial \eta }}=0;\ \ \ \ \ (6)$

Bu toʻlqin tenglamani avval $\xi$ boʻyicha integrallanadi: ${\dfrac {\partial f}{\partial \eta }}=C_{1}(\eta )$, keyin esa $\eta$ boʻyicha integrallanadi: $f=\int C_{1}(\eta )d\eta +C_{2}(\xi )$, yaʼni

$f=f_{1}(\xi )+f_{2}(\eta );\ \ \ \ \ (7)$

yoki (3) bilan (4) ga binoan,

$f=f_{1}(z+ct)+f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (8)$

boʻladi. Bu yerda $f_{1}$ va $f_{2}$ ixtiyoriy funksiyalardir.

Toʻlqin tenglamaning mohiyati

Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar $z-ct=const$ boʻlsa,

$f=f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (9)$

Yassi toʻlqin harakati

boʻladi. Agar $z-ct=const$ boʻlsa, $f_{2}=const$ boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ ga mos koordinata $z_{0}$ desak, $z-ct=z_{0}$ boʻladi. Bu formula esa $z$ koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab $c$ oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti $t=0$ va boshlangʻich koordinata $z=z_{0}$ nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa, $t$ vaqt oʻtgandan keyin $z=z_{0}+ct$ koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni $f_{2}(z_{0})=f_{2}(z-ct)$ boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati $z$ oʻqi boʻylab $c$ texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan $f_{2}(z-ct)$ funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, $f_{1}(z+ct)$ funksiya esa $z$ koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Yassi elektromagnit toʻlqin

Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun toʻlqin tenglamasidan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina $z$ oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, skalyar potensial va vektor potensial uchun (9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:

$\varphi =\varphi (z-ct);\ \ \ \ \ (10)$

${\textbf {A}}={\textbf {A}}(z-ct);\ \ \ \ \ (11)$

Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:

$\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \psi }{\partial t}};\ \ \ \ \ (12)$

yoki (10) ga muvofiq:

$\varphi '(z-ct)=\varphi (z-ct)-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\psi (z-ct)$

Ammo (4) ga asosan,

${\dfrac {\partial }{\partial t}}\psi (z-ct)=-{\dot {\psi }}(z-ct)$

bu yerda argument $\eta =z-ct$ boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,

$\varphi '(z-ct)=\varphi (z-ct)+{\dot {\psi }}(z-ct)$

boʻladi. $\psi (z-ct)$ funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: $\varphi '(z-ct)={\dot {\psi }}(z-ct)$. Demak, natijada $\varphi (z-ct)=0$ boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,

${\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}=0,\ \ \ \ \ A_{z}=const;\ \ \ \ \ (13)$

Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:

${\textbf {E}}=-{\textrm {grad}}\varphi -{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}$

${\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}}$

yoki $\varphi (z-ct)=0$ ekanligi hisobga olinsa,

${\textbf {E}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}};\ \ \ \ \ (14)$

${\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}};\ \ \ \ \ (15)$

(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, $E_{z}=0$, yaʼni elektr maydon kuchlanganligi ${\textbf {E}}$ vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni $A_{z}=0$.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:

${\textbf {E}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial \eta }}{\partial \eta }{\partial t}={\dot {\textbf {A}}}$

${\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}}=[\nabla \ {\textbf {A}}]=[\nabla (z-ct),{\textbf {A}}]=[\nabla _{z},{\dot {\textbf {A}}}]=[\nabla _{z},{\textbf {E}}]$

Elektr va magnit maydon kuchlanganlik vektorlarining yoʻnalishi toʻlqin tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyar boʻladi

Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini n bilan belgilasak, ${\textbf {n}}=\nabla _{z}$ boʻladi. Demak,

${\textbf {H}}=[{\textbf {n}}\ {\textbf {E}}];\ \ \ \ \ (16)$

Koʻrinib turibdiki, magnit maydon kuchlanganligi ${\textbf {H}}$ vektor ham elektr maydon kuchlanganligi ${\textbf {E}}$ vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda ${\textbf {H}}$ va ${\textbf {E}}$ vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. ${\textbf {n}}$, ${\textbf {E}}$, ${\textbf {H}}$ vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

Umov-Poynting vektori

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,

$H=E;\ \ \ \ \ (17)$

yaʼni elektr maydon va magnit maydon kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi

$w={\frac {E^{2}}{8\pi }}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}={\frac {E^{2}}{4\pi }}={\frac {H^{2}}{4\pi }};\ \ \ \ \ (18)$

Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun

${\textbf {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {E}}\ {\textbf {H}}\right]={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {E}}[{\textbf {n}}\ {\textbf {E}}]\right]={\frac {c}{4\pi }}\left[{\textbf {n}}{\textbf {E}}^{2}-{\textbf {E}}({\textbf {nE}})\right]={\frac {E^{2}}{4\pi }}c\ {\textbf {n}}$

yoki (18) ga muvofiq,

${\textbf {S}}=w\ c\ {\textbf {n}};\ \ \ \ \ (19)$

demak, energiya oqimi toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. To'lqin elektromagnit impulsining zichligi uchun

${\textbf {g}}_{S}={\frac {\textbf {S}}{c^{2}}}={\frac {w}{c}}{\textbf {n}};\ \ \ \ \ (20)$

Shuningdek qarang:

• Garmonik elektromagnit to'lqin
• To'lqin paket
• To'lqin paket uchun aniqsizlik munosabatlari

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974