Jak Filipp Mari Binet tomonidan olingan Binet tenglamasi tekislik qutbli koordinatalarda orbital harakatning shakli berilgan markaziy kuch shaklini beradi. Tenglamadan maʼlum bir kuch qonuni uchun orbita shaklini olish uchun ham foydalanish mumkin, lekin bu odatda ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan oddiy differentsial tenglamaning echimini oʻz ichiga oladi. Quvvat markazi atrofida aylanma harakatda yagona yechim mumkin emas.

Tenglama

Orbita shakli koʻpincha nisbiy masofa nuqtai nazaridan qulay tarzda tavsiflanadi burchak funktsiyasi sifatida . Binet tenglamasi uchun orbital shakli oʻrniga qisqaroq tasvirlangan funktsiyasi sifatida . Muayyan burchak momentumini quyidagicha aniqlang qayerda burchak impulsi va massa hisoblanadi. Keyingi boʻlimda olingan Binet tenglamasi funksiya boʻyicha kuchni beradi  :

Chiqarish

tahrir

Nyutonning ikkinchi qonuni sof markaziy kuch uchun

 

Burchak momentining saqlanishi shuni taqozo etadi

 

ning hosilalari   vaqtga nisbatan hosila sifatida qayta yozilishi mumkin   burchakka nisbatan:

 

Yuqoridagilarning barchasini birlashtirib, biz quyidagiga erishamiz

 

Umumiy yechim [1]

 

bu yerda   zarrachaning dastlabki koordinatasidir.

Misollar

tahrir

Kepler muammosi

tahrir

Klassik

tahrir

Teskari kvadrat qonunining orbitasini hisoblashning anʼanaviy Kepler muammosi differensial tenglamaning yechimi sifatida Binet tenglamasidan oʻqilishi mumkin.

   

Agar burchak   periapsisdan oʻlchanadi, keyin (oʻzaro) qutb koordinatalarida ifodalangan orbita uchun umumiy yechim boʻladi.

 

Yuqoridagi qutbli tenglama konus kesimlarini tasvirlaydi, bilan   yarim latus rektum (ga teng  ) va   orbital ekssentriklik .

Relyativistik

tahrir

Shvartsshild koordinatalari uchun olingan relyativistik tenglama [2]

 

bu yerda   yorugʻlik tezligi va   Shvartsshild radiusidir . Va Reissner-Nordström metrikasi uchun biz olamiz

 

bu yerda   elektr zaryadidir va   vakuum oʻtkazuvchanligi hisoblanadi.

Teskari Kepler muammosi

tahrir

Teskari Kepler muammosini koʻrib chiqing. Qanday kuch qonuni ellips fokusi atrofida aylana boʻlmagan elliptik orbita (yoki umuman olganda aylana boʻlmagan konus kesimi) hosil qiladi?

Ellips uchun yuqoridagi qutb tenglamasini ikki marta differensiallash

  Shuning uchun kuch qonuni

 

Bu kutilayotgan teskari kvadrat qonuni. Orbitalning mos kelishi   kabi jismoniy qadriyatlarga   yoki   Nyutonning universal tortishish qonunini yoki Kulon qonunini takrorlaydi.

Shvartsshild koordinatalari uchun samarali kuch [3]

 

bu yerda ikkinchi aʼzo periapsisning burchak siljishi kabi toʻrt kutupli taʼsirlarga mos keladigan teskari kvarts kuchdir (Uni kechiktirilgan potentsiallar orqali ham olish mumkin [4]).

Parametrlangan post-Nyuton formalizmida biz erishamiz

 


bu yerda   umumiy nisbiylik nazariyasi uchun va   klassik holatda.

Kotes spirallari

tahrir

Teskari kub kuch qonuni shaklga ega

 


Teskari kub qonunining orbitalarining shakllari Cotes spirallari deb nomlanadi. Binet tenglamasi orbitalar tenglamaning yechimi boʻlishi kerakligini koʻrsatadi

 

Differensial tenglama Kepler muammosining turli konus kesimlariga oʻxshab uch xil yechimga ega. Qachon  , yechim epispiral, shu jumladan toʻgʻri chiziqning patologik holati qachon   . Qachon  , yechim giperbolik spiraldir . Qachon   yechim Puinsot spiralidir .

Eksadan tashqari aylanma harakat

tahrir

Binet tenglamasi kuch markazi atrofida aylana harakati uchun yagona kuch qonunini bera olmasa ham, tenglama aylananing markazi va kuch markazi mos kelmasa, kuch qonunini berishi mumkin. Masalan, toʻgʻridan-toʻgʻri kuch markazidan oʻtadigan dumaloq orbitani koʻrib chiqing. Bunday dumaloq diametrli orbita uchun (oʻzaro) qutbli tenglama   hisoblanadi

 

Farqlash   ikki marta va Pifagor kimligidan foydalanish imkonini beradi

 

Kuch qonuni shunday

 

Eʼtibor bering, umumiy teskari masalani yechish, yaʼni jozibali orbitalarni qurish   kuch qonuni, ancha qiyinroq muammodir, chunki u echishga tengdir

 

ikkinchi tartibli chiziqli boʻlmagan differentsial tenglama.


Manbalar

tahrir
  1. Goldstein, Herbert. Classical mechanics. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co, 1980. ISBN 0-201-02918-9. OCLC 5675073. 
  2. „Archived copy“. 2010-yil 19-iyunda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2010-yil 15-noyabr.
  3. http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf — The first-order orbital equation
  4. Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). "A flat space-time relativistic explanation for the perihelion advance of Mercury". arXiv:astro-ph/0306611. 

Adabiyotlar

tahrir