Born-Lande tenglamasi

Born-Lande tenglamasi kristalli ionli birikmaning panjara energiyasini hisoblash vositasidir. 1918-yilda Maks Born va Alfred Lande panjara energiyasini, ion panjarasiga elektrostatik potentsialidan itaruvchi potentsial energiya atamasidan olish mumkinligini taklif qilishdi.

$E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Bu yerda:

• N_A = Avogadro doimiysi,
• M = Madelung doimiysi, kristallning geometriyasiga tegishli,
• z⁺ = kationning zaryad raqami
• z^- = anionning raqamli zaryad raqami
• e = elementar zaryad, 1,6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = bo'sh joyning o'tkazuvchanligi

  4pε₀ = 1,112×10⁻¹⁰ C ² /(J·m)

• r₀ = eng yaqin kation [+ve] va anion [-ve] orasidagi masofa.
• n = Born koʻrsatkichi, odatda 5 dan 12 gacha boʻlgan raqam, qattiq jismning siqilish qobiliyatini oʻlchash orqali eksperimental ravishda aniqlanadi yoki nazariy jihatdan olinadi.
• E = Panjara energiyasi 'Eʼ bilan ifodalanadi.

Chiqarishi

Ion panjara ionlardagi elektrostatik zaryadlarning oʻzaro tortilishi natijasida bir-biriga siqilgan qattiq elastik sharlar yigʻindisi sifatida modellashtirilgan. Muvozanat hosil qiluvchi qisqa masofali itarilishi tufayli ular bir-biridan muvozanat masofasiga ega boʻlishadi.

Elektrostatik potentsiali

Teng va qarama-qarshi zaryadli ionlar jufti orasidagi elektrostatik potentsial energiyasi, E_juftligi:

$E_{\text{juftligi}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

Bu yerda:

z = bitta ion zaryadining kattaligi

e = elementar zaryad, 1.6022 ×10⁻¹⁹ C

e₀ = bo'sh joyning o'tkazuvchanligi

4πe₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/(J·m)

r = ion markazlarini ajratib turadigan masofa

1:1 nisbatda teng va qarama-qarshi zaryadga ega ionlardan tashkil topgan oddiy panjara uchun bir ion va boshqa barcha panjara ionlari oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirlarini hisoblash uchun E_Mni hisoblash kerak, buni esa Madelung yoki panjara energiyasi deb ataladi.

$E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

Bu yerda:

M = Madelung doimiysi, bu kristalning geometriyasi bilan bogʻliq

r = qarama-qarshi zaryadli ikkita ion orasidagi eng yaqin masofa

Jiddiy atamasi

Born va Lande panjara ionlari orasidagi itaruvchi oʻzaro taʼsirga mutanosib boʻlishini taklif qildilar, shuning uchun itaruvchi energiya atamasi E_R bilan ifodalanadi.

$E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}$

Bu yerda:

B = repulsiv oʻzaro taʼsir kuchini doimiy ravishda oʻlchash.

r = qarama-qarshi zaryadli ikkita ion orasidagi eng yaqin masofa.

n = Born koʻrsatkichi, 5 dan 12 gacha boʻlgan raqam itaruvchi toʻsiqning tikligini ifodalaydi.

Umumiy energiyasi

Panjaradagi ion jami intensiv potentsial energiyasini Madelung va itaruvchi potentsiallarning yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin.

$E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}$

Ushbu energiyani r ga nisbatan minimallashtirish, nomaʼlum B doimiysi boʻyicha muvozanat ajralishini r₀ beradi.

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}$

Minimal intensiv potentsial energiyani baholab, B ifodasini r₀ ga almashtirsak, Born-Lande tenglamasi hosil bo‘ladi.

$E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Hisoblangan panjara energiyalari

Born-Lande tenglamasi tizimning panjara energiyasi haqida maʼlumoti.

Murakkab	Hisoblangan	Eksperimental
NaCl	−756 kJ/mol	−787 kJ/mol
LiF	−1007 kJ/mol	−1046 kJ/mol
CaCl2	−2170 kJ/mol	−2255 kJ/mol

Born koʻrsatkichi

Born koʻrsatkichi odatda 5 dan 12 gacha moddalarni o'z ichiga oladi. Taxminiy eksperimental qiymatlari quyida keltirilgan.

Ion konfiguratsiyasi	He	Ne	Ar, Cu+	Kr, Ag+	Xe, Au+
n	5	7	9	10	12

Yana qarang

• Kapustinskiy tenglamasi
• Born-Mayer tenglamasi