Elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori

Elektromagnit kuchlar zichligi

Elektromagnit maydon va zaryadlangan zarralar sistemasining umumiy impuls oʻzgarishi qonuni quyidagicha ifodalanadi:

{\dfrac {d}{dt}}\left({\textbf {G}}_{m}+{\textbf {G}}_{s}\right)=\oint {\textbf {T}}_{n}d\sigma ;\ \ \ \ \ (1)

bu yerda:

{\textbf {T}}_{n}=({\textbf {T}}_{x}{\textbf {n}}){\textbf {i}}+({\textbf {T}}_{y}{\textbf {n}}){\textbf {j}}+({\textbf {T}}_{z}{\textbf {n}}){\textbf {k}};\ \ \ \ \ (2)

boʻlib, normal orti n boʻlgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi elektromagnit maydon kuchini ifodalaydi va sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi deyiladi. Normalning yoʻnalishiga qarab T_n vektor ham turlicha boʻlishi mumkin. Normalning orti n sifatida, masalan, Ox oʻqining orti i olinsa, koʻramizki, T_x vektor shu oʻqqa perpendikulyar qoʻyilgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi maydon kuchini ifodalaydi. Shuning kabi T_y va T_z vektorlar Oy va Oz oʻqlariga mos ravishda perpendikulyar boʻlgan birlik yuzachalarga taʼsir qiluvchi maydon kuchlarini ifodalaydi.

Elektromagnit kuchlar zichligi vektorining tashkil etuvchilari

Sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi T_n vektorning aniqlanishi uchun (2) ga muvofiq T_x, T_y,T_z vektorlar maʼlum boʻlishi lozim: bu vektorlarning tashkil etuvchilarini quyidagicha yozamiz:

T_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),

T_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),

T_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),

T_{yx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),

T_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),

T_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),

T_{zx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),

T_{zy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),

T_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3)

;

Agar $x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z$ desak, koordinatalarning umumiy koʻrinishi $x_{\alpha }$ boʻladi, bu yerda $\alpha$ indeks 1, 2, 3, $\ldots$ qiymatlarni qabul qiladi. U vaqtda (3) ifodani quyidagi koʻrinishda yozib koʻrsatish mumkin:

T_{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{\alpha }E_{\beta }+H_{\alpha }H_{\beta }\right)-\delta _{\alpha \beta }{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (4)

bu yerda $\alpha ,\beta$ indekslar 1, 2, 3 qiymatlarga ega boʻlib, $\delta _{\alpha \beta }$ esa Kroneker belgisi deyiladi va quyidagicha taʼriflanadi:

\delta _{\alpha \beta }={\begin{cases}0,\ {\textrm {agar}}\ \alpha \neq \beta \\1,\ {\textrm {agar}}\ \alpha =\beta \end{cases}};\ \ \ \ \ (5)

(4) — tenglamadan maʼlumki,

T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha };\ \ \ \ \ (6)

Normal orti n bilan ixtiyoriy i $_{\beta }$ orasidagi burchak kosinusini $C_{n\beta }$ orqali belgilasak:

C_{n\beta }=\cos({\textbf {n}}^{\wedge }{\textbf {i}}_{\beta })=\left({\textbf {n}}\ {\textbf {i}}_{\beta }\right)\ \ \ \ \ (7)

u holda

{\textbf {n}}=\sum C_{n\beta }{\textbf {i}}_{\beta };\ \ \ \ \ (8)

Endi bizni qiziqtirayotgan T_n vektor uchun berilgan (2) ifodani kiritilgan belgilashlar asosida yozamiz:

{\textbf {T}}_{n}=\sum \left({\textbf {T}}_{\alpha }\ {\textbf {n}}\right){\textbf {i}}_{\beta }

yoki (8) ga muvofiq

{\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }\left({\textbf {T}}_{\alpha }{\textbf {i}}_{\beta }\right){\textbf {i}}_{\alpha }

Skalyar koʻpaytma $({\textbf {T}}_{\alpha }{\textbf {i}}_{\beta })$ esa ${\textbf {T}}_{\alpha }$ vektorning $i_{\beta }$ ort yoʻnalishidagi ${\textbf {T}}_{\alpha \beta }$ tashkil etuvchisidir. Demak,

{\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }{\textbf {T}}_{\alpha \beta }{\textbf {i}}_{\alpha }

yoki (6) ga muvofiq,

{\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }{\textbf {i}}_{\alpha };\ \ \ \ \ (9)

Berilgan ${\textbf {i}}_{\beta }$ ortlar sistemasini koordinatalar boshi atrofida aylantirish natijasida kelib chiqqan yangi sistema ortlarini ${\textbf {i}}'_{l}$ orqali belgilaylik, bu yerda $l=1,2,3$ . Normal orti n ixtiyoriy boʻlganligidan, n oʻrniga i'_lolinishi mumkin. U vaqtda (9) ga muvofiq,

{\textbf {T}}'_{l}=\sum \sum C_{l\beta }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }{\textbf {i}}_{\alpha }

Bu tenglikning ikki tomonini i'_m ( $m=1,2,3,\ldots$ ) ortga skalyar ravishda koʻpaytirilsa,

T'_{lm}\sum \sum C_{l\beta }C_{m\alpha }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }

yokki $\alpha$ va $\beta$ oʻrinlarini almashtirilsa,

T'_{lm}\sum \sum C_{l\alpha }C_{m\beta }{\textbf {T}}_{\alpha \beta };\ \ \ \ \ \ (10)

Mana shu almashtirish qonuniga boʻysungan $T_{\alpha \beta }$ miqdorlar toʻplami ikkinchi rangli tenzor deyiladi. (4) da ifodalangan toʻqqizta $T_{\alpha \beta }$ miqdorlar toʻplami elektromagnit impuls oqimi zichligining tenzori deb yuritiladi.

Yana qarang

Adabiyotlar

R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974