Matematik fizikada klassik Gaudin modeli sifatida ham tanilgan Garnier integrallash tizimi 1919 yilda Rene Garnier tomonidan Schlesinger tenglamalarining „ Painlevé soddalashtirishi“ yoki „avtonom chegarasi“ ni olish orqali kashf etilgan klassik mexanik tizimdir[1] [2]. Bu Mishel Gaudin tufayli Knijnik-Zamolodchikov tenglamalarining klassik analogidir. Klassik Gaudin modellari integratsiyalashgan tizim integralidir[3].

Ular, shuningdek, Xitchin integrallanuvchi tizimlarining oʻziga xos holati boʻlib, nazariya aniqlangan algebraik egri Rieman sferasi boʻlib, tizim toʻliq tarvaqaylab ketgan.

Shlesinger tenglamalarining chegarasi sifatida

tahrir

Shlesinger tenglamalari differensial tenglamalar tizimidir   matritsa qiymatli funksiyalar  , tomonidan berilgan:

 

 

„Avtonom chegara“ ni almashtirish orqali beriladi   konstantalar orqali maxrajdagi bogʻliqlik   bilan   :

  Bu Garnier tomonidan dastlab ishlab chiqarilgan shakldagi Garnier tizimi .

Gaudinning klassik modeli sifatida

tahrir

Garnier tizimining klassik mexanik tizim sifatida formulasi mavjud, klassik Gaudin modeli, u kvant Gaudin modeliga kvantlanadi va harakat tenglamalari Garnier tizimiga ekvivalentdir. Ushbu boʻlim ushbu formulani tavsiflaydi.

Har qanday klassik tizimga kelsak, Gaudin modeli Puasson manifoldi tomonidan belgilanadi   faza fazosi deb ataladi va manifoldda silliq funksiya Gamiltonian deb ataladi.

Faza maydoni

tahrir

Mayli   kvadratik Li algebrasi, yaʼni degenerativ boʻlmagan oʻzgarmas ikki chiziqli shaklga ega Li algebrasi boʻlsin.   . Agar   murakkab va sodda, bu Killing shakli sifatida qabul qilinishi mumkin.

Ikkilik, belgilangan  , Kirillov-Kostant qavs orqali chiziqli Puasson tuzilishiga aylantirilishi mumkin.

Faza maydoni   Gaudin klassik modelining Dekart mahsuloti hisoblanadi   nusxalari   uchun   musbat butun son.

Sahifalar

tahrir

Ushbu nusxalarning har biri bilan bogʻliq bir nuqta  , belgilangan  , va sahifalar deb ataladi.

Laks matritsasi

tahrir

Li algebrasining asosini aniqlash   tuzilish konstantalari bilan  , funktsiyalari mavjud   bilan   Puasson qavsni qanoatlantiruvchi faza fazosida

 

Ular oʻz navbatida aniqlash uchun ishlatiladi   -qiymatli funksiyalar

 

bilvosita yigʻindisi bilan.

Keyinchalik, ular Lax matritsasini aniqlash uchun ishlatiladi, bu ham a   fazalar boʻshligʻidagi qiymatli funksiya, qoʻshimcha ravishda meromorfik ravishda spektral   parametrga bogʻliq,

 

va   ning doimiy elementidir  , degan maʼnoda Puasson barcha funksiyalari bilan harakat qiladi (yoʻqolib borayotgan Puasson qavsga ega).

(kvadrat) Gamiltonian

tahrir

(kvadrat) Gamiltonian

 

bu haqiqatan ham faza fazosining funksiyasi boʻlib, u qoʻshimcha ravishda spektral parametrga bogʻliq   . Buni shunday yozish mumkin:

 

bilan

 

va

 

Puasson qavs munosabatidan turlicha   va   bu haqiqat boʻlishi kerak   ning, the   ning va   hammasi involyutsiyada. Koʻrsatish mumkinki,   ning va   Fazali fazodagi barcha funksiyalar bilan Puasson qatnovi, lekin   umuman yoʻq. Bu Arnol’d Liouville integralligi maqsadlari uchun involyutsiyada saqlanib qolgan zaryadlardir.

Laks tenglamasi

tahrir

Koʻrsatish mumkin:

 

Shunday qilib, Lax matritsasi Gamiltonchilarning birortasi tomonidan vaqt evolyutsiyasi berilganda Lax tenglamasini qanoatlantiradi.  , shuningdek, ularning har qanday chiziqli birikmasi.

Yuqori Gamiltoniyanlar

tahrir

Kasimir kvadrati Li algebrasi uchun kvadratik Veyl oʻzgarmas koʻphadiga mos keladi.  , lekin aslida koʻplab kommutatsiya saqlangan toʻlovlar yordamida hosil boʻlishi mumkin   -oʻzgarmas koʻphadlar. Ushbu oʻzgarmas polinomlarni Xarish-Chandra izomorfizmi yordamida topish mumkin.   murakkab, sodda va cheklangan.

Klassik Gaudin modellari sifatida integrallanadigan maydon nazariyalari

Baʼzi bir integral klassik maydon nazariyalari klassik affin Gaudin modellari sifatida shakllantirilishi mumkin, bu yerda   affin Li algebrasidir . Bunday klassik maydon nazariyalariga asosiy chiral model, koset sigma modellari va affin Toda maydon nazariyasi kiradi[4]. Shunday qilib, affin Gaudin modellarini integral tizimlar uchun „master nazariya“ sifatida koʻrish mumkin, lekin toʻrt oʻlchovli Chern-Simons nazariyasi yoki oʻz-oʻzidan ikkilangan Yang-Mills kabi boshqa asosiy nazariyalardan farqli oʻlaroq, tabiiy ravishda Gamilton formalizmida tuzilgan.

Gaudin kvant modellari

tahrir

Gaudin kvant modellarining ajralmas tuzilishi haqida koʻp narsa maʼlum. Xususan, Feigin, Frenkel va Reshetikxin ularni tepalik operatori algebralari nazariyasidan foydalangan holda oʻrganib, Gaudin modellarining matematika mavzulariga, shu jumladan Knijnik-Zamolodchikov tenglamalari va geometrik Langlands muvofiqligini koʻrsatdi[5].

Manbalar

tahrir
  1. Garnier, Par M. René (December 1919). "Sur une classe de systèmes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 43 (1): 155–191. doi:10.1007/BF03014668. 
  2. Chudnovsky, D. V. (December 1979). "Simplified Schlesinger's systems". Lettere al Nuovo Cimento 26 (14): 423–427. doi:10.1007/BF02817023. 
  3. Gaudin, Michel (1976). "Diagonalisation d'une classe d'hamiltoniens de spin". Journal de Physique 37 (10): 1087–1098. doi:10.1051/jphys:0197600370100108700. https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00208506/document. Qaraldi: 26 September 2022. Garnier integral tizimi]]
  4. Vicedo, Benoit (2017). "On integrable field theories as dihedral affine Gaudin models". arXiv:1701.04856 [hep-th]. 
  5. Feigin, Boris; Frenkel, Edward; Reshetikhin, Nikolai (3 Apr 1994). "Gaudin Model, Bethe Ansatz and Critical Level". Commun. Math. Phys. 166 (1): 27–62. doi:10.1007/BF02099300.