Harakat grafiklari va hosilalari

Mexanikada obyektning joylashuv va vaqt grafigining hosilasi ob’ekt tezligiga teng. Xalqaro birliklar tizimida harakatlanuvchi ob’ektning pozitsiyasi kelib chiqishiga nisbatan metrlarda, vaqt esa soniyalarda oʻlchanadi. Joyni y oʻqiga va vaqtni x oʻqiga qoʻyib, egri chiziqning qiyaligi quyidagicha aniqlanadi:

Yashil chiziq tezlik-vaqt grafigining ikki chiziq tegib turgan nuqtadagi qiyaligini koʻrsatadi. Uning qiyaligi bu nuqtadagi tezlanishdir.

$v={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.$

Bu yerda $s$ ob’ektning pozitsiyasidir va $t$ vaqt hisoblanadi. Shuning uchun, egri chiziqning qiyaligi vaqt oʻzgarishiga boʻlingan pozitsiyaning oʻzgarishini beradi, bu grafikdagi vaqt oraligʻi uchun oʻrtacha tezlikning taʼrifi. Agar bu oraliq cheksiz kichik boʻlsa, shunday ${\Delta s}$ aylanadi ${ds}$ va ${\Delta t}$ aylanadi ${dt}$, natijada vaqtdagi oniy tezlik $t$, yoki vaqtga nisbatan pozitsiyaning hosilasi .

Xuddi shunday fakt tezlik va vaqt grafigiga ham tegishli. Tezlik va vaqt grafigining qiyaligi bu tezlanishdir, bu safar tezlikni y oʻqiga va vaqtni x oʻqiga qoʻyadi. Yana chiziqning qiyaligi oʻzgaradi $y$ haddan tashqari oʻzgarish $x$ :

$a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

bu yerda $v$ tezlik, va $t$ vaqt hisoblanadi. Shunday qilib, bu qiyalik oraliqdagi oʻrtacha tezlanishni aniqlaydi va intervalni cheksiz ravishda kamaytirish ${\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}$, $t$ vaqtdagi oniy tezlanish, yoki tezlikning vaqtga nisbatan hosilasi (yoki pozitsiyaning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi). SIda bu qiyalik yoki lotin sekundiga metr birliklarida ifodalanadi ($\mathrm {m/s^{2}}$, odatda „sekundiga metr kvadrat“ deb ataladi).

Ob’ektning tezligi pozitsiya grafigining hosilasi boʻlganligi sababli, tezlik va vaqt grafigidagi chiziq ostidagi maydon ob’ektning siljishidir . (Tezlik y oʻqida va vaqt x oʻqida. Tezlikni vaqtga koʻpaytirsak, vaqt bekor qilinadi va faqat siljish qoladi.)

Xuddi shu koʻpaytirish qoidasi tezlanish va vaqt grafiklari uchun ham amal qiladi.

Oʻzgaruvchan qiymatlarda

Ushbu misolda sariq maydon ob’ektning harakatlanayotganda siljishini ifodalaydi. (Masofani funktsiyaning mutlaq qiymatini olish orqali oʻlchash mumkin.) Uchta yashil chiziq egri chiziqning turli nuqtalarida tezlanish qiymatlarini ifodalaydi.

Yuqorida keltirilgan iboralar faqat oʻzgarish tezligi doimiy boʻlganda yoki faqat oʻrtacha (oʻrtacha) oʻzgarish tezligi kerak boʻlganda qoʻllanadi. Agar tezlik yoki pozitsiyalar vaqt oʻtishi bilan chiziqli boʻlmagan holda oʻzgarsa, masalan, rasmda koʻrsatilgan misolda, farqlash toʻgʻri echimni beradi. Farqlash yuqorida qoʻllangan vaqt oraligʻini juda kichik (cheksiz kichik) qilib qisqartiradi va boshlanish va tugatish nuqtasi oʻrtasida emas, balki grafikning har bir nuqtasida tezlik yoki tezlanishni beradi. Yuqoridagi tenglamalarning hosila shakllari:

$v={\frac {ds}{dt}},$

$a={\frac {dv}{dt}}.$

Tezlanish pozitsiyani oʻz ichiga olgan ifodani farqlaganligi sababli, uni vaqtga nisbatan ikkinchi hosila sifatida qayta yozish mumkin:

$a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.$

Bu kabi mexanika maqsadlari uchun integratsiya differensiatsiyaga qarama-qarshi boʻlganligi sababli, pozitsiyani tezlik va tezlikni tezlanish funksiyasi sifatida ifodalash ham mumkin. Yuqorida tavsiflanganidek, egri chiziq ostidagi maydonni aniqlash jarayoni aniq integrallar yordamida maʼlum vaqt oraligʻida tezlikning oʻzgarishi va oʻzgarishini berishi mumkin:

$s(t_{2})-s(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{v}\,dt,$

$v(t_{2})-v(t_{1})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{a}\,dt.$

Manbalar

• Wolfson, Richard; Jay M. Pasachoff (1999). Physics for Scientists and Engineers (3rd ed.).

Havolalar

• Addison Uesli
• Massachusets universiteti