Lamening stress ellipsoidi

Lamening kuchlanish ellipsoidi bir nuqtadagi stress holatini grafik tasvirlash uchun Mohr doirasiga muqobildir. Ellipsoid yuzasi kontinuum jismining maʼlum bir nuqtasidan oʻtadigan barcha tekisliklarga taʼsir qiluvchi barcha kuchlanish vektorlarining soʻnggi nuqtalarining joylashishini ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, kontinuum tanasining maʼlum bir nuqtasida barcha kuchlanish vektorlarining soʻnggi nuqtalari kuchlanish ellipsoid yuzasida, yaʼni koʻrib chiqilayotgan moddiy nuqtada joylashgan ellipsoid markazidan radius-vektor ustida joylashgan nuqtaga yotadi. ellipsoidning sirti nuqtadan oʻtadigan baʼzi tekislikdagi kuchlanish vektoriga teng. Ikki oʻlchovda sirt ellips bilan ifodalanadi.

Ellipsoidning tenglamalari maʼlum boʻlgandan soʻng, kuchlanish vektorining kattaligini shu nuqtadan oʻtadigan har qanday tekislik uchun olish mumkin.

Stress ellipsoidining tenglamasini aniqlash uchun koordinata oʻqlarini koʻrib chiqamiz $x_{1},x_{2},x_{3}\,\!$ bosh oʻqlar yoʻnalishlarida, yaʼni asosiy kuchlanish fazosida olinadi. Shunday qilib, stress vektorining koordinatalari $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!$ normal birlik vektorli tekislikda $\mathbf {n} \,\!$ berilgan nuqtadan oʻtish $P\,\!$ tomonidan ifodalanadi

$T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3}\,$

Va buni bilish $\mathbf {n} \,\!$ bizda mavjud birlik vektordir

$n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {T_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {T_{3}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1\,$

koordinatalar sistemasining boshiga markazlashgan ellipsoidning tenglamasi, ellipsoid yarim oʻqlarining uzunliklari bosh kuchlanishlarning kattaliklariga teng, yaʼni ellipsoidning bosh oʻqlari bilan kesishgan nuqtalari. $\pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!$ .

• Birinchi stress invariant $I_{1}\,\!$ ellipsoidning asosiy radiuslari yigʻindisiga toʻgʻridan-toʻgʻri proportsionaldir.
• Ikkinchi stress invariant $I_{2}\,\!$ ellipsoidning uchta asosiy maydoni yigʻindisiga toʻgʻridan-toʻgʻri proportsionaldir. Uchta asosiy maydon har bir asosiy tekislikdagi ellipsdir.
• Uchinchi stress invariant $I_{3}\,\!$ ellipsoid hajmiga toʻgʻridan-toʻgʻri proportsionaldir.
• Agar uchta asosiy kuchlanishdan ikkitasi son jihatdan teng boʻlsa, kuchlanish ellipsoidi inqilob ellipsoidiga aylanadi. Shunday qilib, ikkita asosiy maydon ellips, uchinchisi esa aylanadir .
• Agar barcha asosiy kuchlanishlar teng va bir xil belgiga ega boʻlsa, kuchlanish ellipsoidi sharga aylanadi va har qanday uchta perpendikulyar yoʻnalish bosh oʻq sifatida qabul qilinishi mumkin.

Biroq, kuchlanish ellipsoidi oʻz-oʻzidan, berilgan tortish vektori harakat qiladigan tekislikni koʻrsatmaydi. Faqat kuchlanish vektori asosiy yoʻnalishlardan biri boʻylab yotsa, tekislikning yoʻnalishini bilish mumkin, chunki asosiy kuchlanishlar oʻz tekisliklariga perpendikulyar taʼsir qiladi. Har qanday boshqa tekislikning yoʻnalishini topish uchun biz tenglama bilan ifodalangan stress-direktor yuzasi yoki stress direktori kvadratidan foydalandik.

${\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\sigma _{3}}}=1$

Stress ellipsoidining radius-vektori bilan ifodalangan kuchlanish radius-vektor bilan kesishish nuqtasida kuchlanish-direktor yuzasiga teginish tekisligiga parallel ravishda yoʻnaltirilgan tekislikda ishlaydi.

Adabiyotlar

• Timoshenko, Stephen P.; James Norman Goodier. Theory of Elasticity, Third, McGraw-Hill International Editions, 1970. ISBN 0-07-085805-5. 
• Timoshenko, Stephen P.. History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures, Dover Books on Physics. Dover Publications, 1983. ISBN 0-486-61187-6.