Pozitsiya va Impuls fazosi: Versiyalar orasidagi farq

[[Fizika]] va [[Geometriya|geometriyada]] ikkita chambarchas bog'liq vektor bo'shliqlari mavjud, odatda uch o'lchovli, lekin umuman olganda har qanday chekli o'lchovli. '''Pozitsiya fazosi''' (shuningdek, '''real fazo''' yoki '''[[Koordinatalar|koordinata]] fazosi''' ) fazodagi barcha ''pozitsiya vektorlari'' '''r''' to'plami bo'lib, uzunlik o'lchamlariga ega; pozitsiya vektori fazodagi nuqtani belgilaydi. (Agar nuqtali zarrachaning joylashuv vektori vaqt o'tishi bilan o'zgarib tursa, u zarrachaning yo'lini, [[Trayektoriya|traektoriyasini aniqlaydi]] . ) '''Impuls fazosi''' - fizik sistema ega bo'lishi mumkin bo'lgan barcha ''[[Impuls|impuls vektorlari]]'' '''p''' to'plami; zarraning impuls vektori uning harakatiga mos keladi, birliklari [massa][uzunlik][vaqt] ⁻¹ .

Matematik nuqtai nazardan, pozitsiya va impuls o'rtasidagi ''ikkilik Pontryagin dualligining'' namunasidir. Xususan, agar [[Funksiya (matematika)|funktsiya]] pozitsiya fazosida ''f'' ( '''r''' ) berilgan bo'lsa, u holda uning Furye konvertatsiyasi impuls fazosida ''ph'' ( '''p''' ) funktsiyani oladi. Aksincha, impuls fazosi funksiyasining teskari Furye konvertatsiyasi pozitsiya fazosi funksiyasidir.

Bu miqdorlar va g'oyalar barcha klassik va kvant fizikasidan ustundir va fizik tizimni tashkil etuvchi zarrachalarning pozitsiyalari yoki ularning momentlari yordamida tasvirlash mumkin, har ikkala formula ham ko'rib chiqilayotgan tizim haqida bir xil ma'lumot beradi. Yana bir miqdor [[Toʻlqinlar|to'lqinlar]] kontekstida aniqlash uchun foydalidir. To'lqin vektori '''k''' (yoki oddiygina " '''k''' -vektor") o'zaro uzunlikdagi o'lchamlarga ega bo'lib, uni o'zaro [[vaqt]] o'lchamlariga ega bo'lgan ''ō'' [[Burchak chastota|burchak chastotasining]] analogiga aylantiradi. Barcha to'lqin vektorlari to'plami '''k-fazodir''' . Odatda '''r''' '''k''' ga qaraganda intuitivroq va soddaroqdir, ammo buning aksi ham to'g'ri bo'lishi mumkin, masalan, qattiq jismlar fizikasida .

[[Kvant mexanika|Kvant mexanikasi]] pozitsiya va impuls o'rtasidagi ikkilanishning ikkita asosiy misolini keltiradi: Geyzenberg noaniqlik printsipi <math>\Delta</math>''x'' <math>\Delta</math>''p'' ≥ ''ħ'' /2 pozitsiya va impulsni bir vaqtning o'zida ixtiyoriy aniqlik bilan bilish mumkin emasligini va [[De Broyl toʻlqini|de Broyl munosabati]] '''p''' = ''ħ'''''k''' . erkin zarrachaning impulsi va to'lqin vektori o'zaro proportsionaldir. <ref>{{Kitob manbasi|title=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles|first=R.|last=Eisberg|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=1985|isbn=978-0-471-87373-0|url=https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb}}</ref> Shu nuqtai nazardan, bir ma'noli bo'lsa, " [[impuls]] " va "to'lqin vektor" atamalari bir-birining o'rnida ishlatiladi. Biroq, de Broyl munosabati kristalda to'g'ri emas.

Ko'pincha Lagranj mexanikasida Lagrangian ''L'' ( '''q''', ''d'' '''q''' / ''dt'', ''t'' ) konfiguratsiya maydonida bo'ladi, bu erda '''q''' = ( ''q'' ₁, ''q'' ₂ ,..., ''q _n'' ) umumlashtirilgan koordinatalarning <math>\eta</math> - tuplesidir . . Eyler-Lagranj harakat tenglamalari<math display="block">\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} \,,\quad \dot{q}_i \equiv \frac{dq_i}{dt}\,. </math>(Bir haddan tashqari nuqta bir martalik hosilani bildiradi). Har bir umumlashtirilgan koordinata uchun kanonik impuls ta'rifini kiritish<math display="block"> p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \,, </math>Eyler-Lagranj tenglamalari shaklni oladi<math display="block">\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} \,. </math>Lagrangian impuls fazosida ham ifodalanishi mumkin, <ref>{{Kitob manbasi|url=https://books.google.com/books?id=1J2hzvX2Xh8C|title=Analytical Mechanics|isbn=978-0-521-57572-0|last=Hand|first=Louis N|date=1998|page=190}}</ref> ''L'' ′( '''p''', ''d'' '''p''' / ''dt'', ''t'' ), bu erda '''p''' = ( ''p'' ₁, ''p'' ₂, ..., ''p _n'' ) ''n'' -tupledir. umumlashtirilgan moment. Lagranjning umumlashtirilgan koordinata fazosining umumiy differentsialidagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish uchun Legendre transformatsiyasi amalga oshiriladi;<math display="block">dL = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial L }{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial L }{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) + \frac{\partial L }{\partial t}dt = \sum_{i=1}^n (\dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i ) + \frac{\partial L }{\partial t}dt \,, </math>Bu erda umumlashtirilgan impulsning ta'rifi va Eyler-Lagrange tenglamalari ''L'' ning qisman hosilalari o'rnini egalladi. Differensiallar uchun mahsulot qoidasi <ref group="nb">For two functions {{Math|''u''}} and {{Math|''v''}}, the differential of the product is {{Math|1=''d''(''uv'') = ''udv'' + ''vdu''}}.</ref> umumlashtirilgan koordinatalar va tezliklardagi differentsiallarni umumlashtirilgan momentdagi differentsiallar va ularning vaqt hosilalari bilan almashish imkonini beradi,<math display="block">\dot{p}_i dq_i = d(q_i\dot{p}_i) - q_i d\dot{p}_i </math><math display="block"> p_i d\dot{q}_i = d(\dot{q}_i p_i) - \dot{q}_i d p_i </math>almashtirilgandan so'ng soddalashtiriladi va qayta tartibga solinadi<math display="block"> d\left[L - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\right] = -\sum_{i=1}^n (\dot{q}_i d p_i + q_i d\dot{p}_i ) + \frac{\partial L }{\partial t}dt \,. </math>Endi impuls fazosining to'liq differensiali Lagranjian ''L'' ′ dir

shuning uchun lagranjlarning differensiallarini, momentlarini va ularning vaqt hosilalarini solishtirganda, mos ravishda, ''L ' impuls fazosi va L'' ''<nowiki/>''' dan olingan umumlashtirilgan koordinatalar.<math display="block">L' = L - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\,,\quad -\dot{q}_i = \frac{\partial L'}{\partial p_i}\,,\quad -q_i = \frac{\partial L'}{\partial \dot{p}_i} \,. </math>Oxirgi ikkita tenglamani birlashtirib, impuls fazosi Eyler-Lagrange tenglamalarini beradi<math display="block">\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{p}_i} = \frac{\partial L'}{\partial p_i} \,. </math>Legendre transformatsiyasining afzalligi shundaki, bu jarayonda yangi va eski funktsiyalar va ularning o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'liqlik olinadi. Tenglamaning koordinata va impuls shakllari ham ekvivalent bo'lib, tizimning dinamikasi haqida bir xil ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Ushbu shakl momentum yoki burchak momenti Lagrangianga kirganda foydaliroq bo'lishi mumkin.

Gamilton mexanikasida, barcha koordinatalardan ''yoki'' momentdan foydalanadigan Lagranj mexanikasidan farqli o'laroq, harakatning Gamilton tenglamalari koordinatalar va momentlarni teng asosda joylashtiradi. Gamiltonian ''H'' ( '''q''', '''p''', ''t'' ) boʻlgan sistema uchun tenglamalar<math display="block"> \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \,,\quad \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \,. </math>

[[Kvant mexanika|Kvant mexanikasida]] zarracha kvant holati bilan tavsiflanadi. Bu kvant holatini asosiy holatlarning superpozitsiyasi (ya'ni vaznli yig'indi sifatida chiziqli birikma ) sifatida ko'rsatish mumkin. Printsipial jihatdan bazaviy holatlar to'plamini tanlash erkindir, agar ular bo'sh joyni qamrab olsa. Pozitsiya operatorining xos funksiyalari bazis funksiyalar to‘plamitoʻplami sifatida tanlansa, holat haqida pozitsiya fazosida [[To'lqin funksiya|to‘lqintoʻlqin funksiyasi]] {{Math|''ψ''('''r''')}} sifatida so‘zsoʻz boradi ( uzunlik bo‘yichaboʻyicha [[fazo]] haqidagi oddiy tushunchamiz). '''r''' pozitsiyasi bo'yicha tanish bo'lgan Shredinger tenglamasi pozitsiyani tasvirlashda kvant mexanikasiga misoldir. <ref name="peleg">{{Kitob manbasi|title=Quantum Mechanics (Schaum's Outline Series)|first=Y.|last=Peleg|edition=2nd|publisher=McGraw Hill|year=2010|isbn=978-0-07-162358-2}}</ref>

Bazis funksiyalar to‘plamitoʻplami sifatida boshqa operatorning xos funksiyalarini tanlab, bir xil holatning bir qancha turli ko‘rinishlarigakoʻrinishlariga erishish mumkin. Agar impuls operatorining xos funktsiyalari bazis funktsiyalar to'plami sifatida tanlansa, natijada to'lqin funksiyasi <math>\phi(\mathbf{k})</math> impuls fazosidagi to’lqin funksiyasi deyiladi. <ref name="peleg">{{Kitob manbasi|title=Quantum Mechanics (Schaum's Outline Series)|first=Y.|last=Peleg|edition=2nd|publisher=McGraw Hill|year=2010|isbn=978-0-07-162358-2}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFPelegPniniZaarurHecht2010">Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). ''Quantum Mechanics (Schaum's Outline Series)'' (2nd&nbsp;ed.). McGraw Hill. [[ISBN]]&nbsp;[[Maxsus:Kitob manbalari/978-0-07-162358-2|<bdi>978-0-07-162358-2</bdi>]].</cite></ref>

Kvant mexanikasining o'ziga xos xususiyati shundaki, fazali bo'shliqlar turli xil bo'lishi mumkin: diskret o'zgaruvchan, rotor va doimiy o'zgaruvchan. Quyidagi jadvalda uch turdagi fazali bo'shliqlar bilan bog'liq ba'zi munosabatlar jamlangan. <ref name="phasespaces">{{Citejurnal journalmanbasi|arxiv=1709.04460|title=General phase spaces: from discrete variables to rotor and continuum limits|last=Albert|first1=Victor V|last2=Pascazio|first2=Saverio|last3=Devoret|first3=Michel H|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|year=2017|volume=50|issue=50|page=504002|doi=10.1088/1751-8121/aa9314}}</ref>

To'lqin funktsiyasining momentum ifodasi Furye transformatsiyasi va chastota sohasi tushunchasi bilan juda chambarchas bog'liq. Kvant-mexanik zarracha impulsga mutanosib chastotaga ega boʻlganligi uchun (yuqorida berilgan de-Broyl tenglamasi), zarrachani impuls komponentlari yigʻindisi sifatida tasvirlash uni chastota komponentlari yigʻindisi (yaʼni Furye konvertatsiyasi) sifatida tasvirlashga tengdir. <ref>{{Kitob manbasi|title=Quantum Mechanics|first=E.|last=Abers|publisher=Addison Wesley, Prentice Hall Inc|year=2004|isbn=978-0-13-146100-0}}</ref> Bu biz o'zimizdan qanday qilib bir vakillikdan ikkinchisiga o'tishimiz mumkinligini so'raganimizda aniq bo'ladi.

Faraz qilaylik, bizda {{Math|''ψ''('''r''')}} pozitsiya fazosida uch o‘lchamlioʻlchamli [[To'lqin funksiya|to‘lqintoʻlqin funksiyasi]] bor, u holda bu funksiyalarni ortogonal bazis funksiyalarining {{Math|''ψ''_''j''('''r''')}} vaznli yig‘indisiyigʻindisi sifatida yozishimiz mumkin:<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\sum_j \phi_j \psi_j(\mathbf{r})</math>yoki uzluksiz holatda [[integral]] sifatida<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{k}\text{-space}} \phi(\mathbf{k}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \mathrm d^3\mathbf{k}</math>Agar funktsiyalar to'plamini ko'rsatsak, bu aniq <math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>, impuls operatorining xos funksiyalar to‘plamitoʻplami sifatida aytaylik, funksiya <math> \phi(\mathbf{k})</math> {{Math|''ψ''('''r''')}} ni qayta qurish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun davlat uchun muqobil tavsifdir <math>\psi</math> .

Kvant mexanikasida impuls operatori tomonidan berilgan<math display="block">\mathbf{\hat p} = -i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}}</math>(maxraj belgisi uchun matritsa hisobiga qarang) tegishli domen bilan. Xususiy funksiyalar<math display="block">\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>va xos qiymatlar ''ħ'' '''k''' . Shunday qilib<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{k}\text{-space}} \phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm d^3\mathbf{k} </math>

Aksincha, impuls fazosida uch o'lchovli to'lqin funktsiyasi <math>\phi(\mathbf{k})</math> ortogonal bazis funktsiyalarining vaznli yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin <math>\phi_j(\mathbf{k})</math> ,<math display="block">\phi(\mathbf{k}) = \sum_j \psi_j \phi_j(\mathbf{k}),</math>yoki integral sifatida,<math display="block">\phi(\mathbf{k}) = \int_{\mathbf{r}\text{-space}} \psi(\mathbf{r}) \phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) \mathrm d^3\mathbf{r}.</math>Pozitsiya operatori tomonidan berilgan<math display="block">\mathbf{\hat r} = i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf p} = i\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}</math>xos funksiyalar bilan<math display="block">\phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3} e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>va xos qiymatlar '''r''' . Shunday qilib, shunga o'xshash parchalanish <math>\phi(\mathbf{k})</math> teskari Furye konvertatsiyasi bo'lib chiqadigan ushbu operatorning xos funktsiyalari nuqtai nazaridan amalga oshirilishi mumkin, <ref name="Penrose">{{Kitob manbasi|last=R. Penrose|title=[[The Road to Reality]]|publisher=Vintage books|year=2007|isbn=978-0-679-77631-4}}</ref><math display="block">\phi(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{r}\text{-space}} \psi(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm d^3\mathbf{r} .</math>

'''r''' va '''p''' operatorlari unitar ekvivalentdir, unitar operator Furye konvertatsiyasi, ya'ni osilator Gamiltonian tomonidan yaratilgan chorak tsiklli aylanish fazasi orqali aniq berilgan. Shunday qilib, ular bir xil spektrga ega. Jismoniy tilda impuls fazo to‘lqinitoʻlqini funksiyalariga ta’sir etuvchi '''p''' pozitsion fazo to‘lqintoʻlqin funksiyalariga ta’sir etuvchi '''r''' bilan bir xil (Furye konvertatsiyasi tasviri ostida).

Kristaldagi [[elektron]] (yoki boshqa [[Zarra|zarracha]] ) uchun uning '''k''' qiymati deyarli har doim uning kristall impulsiga bog'liq bo'ladi, uning normal momentumiga emas. Shuning uchun, '''k''' va '''p''' oddiy proportsional emas, balki turli rollarni bajaradi. Misol uchun k·p tebranish nazariyasiga qarang. Kristal impuls to'lqin konvertiga o'xshaydi, u to'lqinning bir hujayradan ikkinchisiga o'zgarishini tavsiflaydi, lekin har bir birlik hujayra ichida to'lqin qanday o'zgarishi haqida hech qanday ma'lumot ''bermaydi'' .