Mukammal son

Raqamlar nazariyasida mukammal son bu sonning oʻzidan tashqari uning musbat boʻluvchilari yigʻindisiga teng boʻlgan musbat butun sondir. Masalan, 6 sonining 1, 2 va 3 boʻluvchisi bor (oʻzidan tashqari) va 1 + 2 + 3 = 6, shuning uchun 6 mukammal sondir.

6 raqamining mukammal son holatidagi tasviri

Sonning boʻluvchilari yigʻindisi, sonning oʻzi bundan mustasno, uning alikvot yigʻindisi deyiladi, shuning uchun mukammal son uning alikvot yigʻindisiga teng boʻlgan sondir. Ekvivalent tarzda, mukammal son — uning barcha musbat boʻluvchilari yigʻindisining yarmiga teng boʻlgan son; belgilarda, $\sigma _{1}(n)=2n$ bu yerda $\sigma _{1}$ boʻluvchilar yigʻindisi funksiyasidir. Masalan, 28 soni 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 mukammaldir.

Bu taʼrif qadimiy manbalarga asoslangan boʻlib, Evklidning elementlari (VII.22) asarida paydo boʻlgan, u yerda u τέλειος ἀριθμός (mukammal, ideal yoki toʻliq son)deb ataladi. . Evklid shuningdek, shakllanish qoidasini (IX.36) isbotladi $q(q+1)/2$ har doim ham mukammal son $q$ shaklning boshi hisoblanadi $2^{p}-1$ musbat butun son uchun $p$ — hozir Mersenn boshi deb ataladigan narsa. Ikki ming yil oʻtgach, Leonhard Eyler barcha hatto mukammal sonlar ham shu shaklda ekanligini isbotladi. Bu Evklid-Eyler teoremasi deb nomlanadi.

Toq mukammal sonlar yoki cheksiz koʻp mukammal sonlar mavjudligi nomaʼlum. Birinchi bir nechta mukammal raqamlar 6, 28, 496 va 8128.

Kelib chiqishi

Taxminan  Miloddan avvalgi 300-yilda Evklid shuni koʻrsatdiki, agar 2 ^p − 1 tubdan keyin 2 ^{p −1} (2 ^p − 1) mukammal. Dastlabki toʻrtta mukammal son qadimgi yunon matematikasiga maʼlum boʻlgan yagona sonlar edi va matematik Nikomax miloddan avvalgi 100-yilda 8128 ni qayd etgan. Zamonaviy til bilan aytganda, Nikomax har bir mukammal son $2^{n-1}(2^{n}-1)$ bu yerda $2^{n}-1$ asosiy) quyidagi shaklda ekanligini isbotsiz taʼkidlaydi. U n ning oʻzi asosiy boʻlishi kerakligini bilmaganga oʻxshaydi. Shuningdek, u (notoʻgʻri) mukammal sonlar navbatma-navbat 6 yoki 8 bilan tugashini aytadi. (Birinchi 5 ta mukammal raqam 6, 8, 6, 8, 6 raqamlari bilan tugaydi, oltinchisi ham 6 bilan tugaydi.) Iskandariyalik Filo birinchi asrda yozilgan „Yaratilish haqida“ kitobida mukammal sonlarni tilga olib, dunyo 6 kunda yaratilgan, Oy esa 28 kunda aylanib chiqadi, chunki 6 va 28 mukammaldir. Filodan keyin Origen va Didim koʻr, 10 000 dan kam boʻlgan faqat toʻrtta mukammal raqam borligini kuzatishni qoʻshadi. (Ibtido 1. 14-19 ga izoh). Avliyo Avgustin eramizning 5-asr boshlarida Xudoning shahrida (XI kitob, 30-bob) mukammal raqamlarni belgilaydi va Xudo dunyoni 6 kunda yaratgan degan daʼvoni takrorlaydi, chunki 6 eng kichik mukammal sondir. Misrlik matematik Ismoil ibn Fallus (1194—1252) keyingi uchta mukammal raqamni (33,550,336; 8,589,869,056; va 137,438,691,328) eslatib oʻtgan va hozirda notoʻgʻri ekanligi maʼlum boʻlgan yana bir nechtasini sanab oʻtgan. Beshinchi mukammal raqam haqida birinchi maʼlum Yevropa eslatmasi nomaʼlum matematik tomonidan 1456 va 1461-yillar orasida yozilgan qoʻlyozmadir. 1588-yilda italyan matematigi Pietro Kataldi oltinchi (8 589 869 056) va yettinchi (137 438 691 328) mukammal sonlarni aniqladi, shuningdek, Evklid qoidasidan olingan har bir mukammal son 6 yoki 8 bilan tugashini isbotladi.

Juft mukammal sonlar

  Evklid 2 ^{p −1} (2 ^p − 1) har doim 2 ^p boʻlganda, juft mukammal son − 1 — asosiy (Elementlar, Prop. IX.36).

Masalan, birinchi toʻrtta mukammal raqam 2 ^{p −1} (2 ^p − 1), p bilan tub son, quyidagicha:

p = 2 uchun: 2 ¹ (2 ² − 1) = 2 × 3 = 6

p = 3 uchun: 2 ² (2 ³ − 1) = 4 × 7 = 28

p = 5 uchun: 2 ⁴ (2 ⁵ − 1) = 16 × 31 = 496

p = 7 uchun: 2 ⁶ (2 ⁷ − 1) = 64 × 127 = 8128.

2 ^p shaklidagi tub sonlar − 1 raqamlar nazariyasi va mukammal sonlarni oʻrgangan XVII asr rohibi Marin Mersennadan keyin Mersenne tub sonlari sifatida tanilgan. 2 ^p uchun − 1 tub boʻlishi uchun p oʻzi tub boʻlishi kerak. Biroq, 2 ^p shakldagi barcha raqamlar emas − 1-sonli p soni tub; masalan, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 tub son emas. Aslida, Mersenne tub sonlari juda kam uchraydi — 2 610 944 tub sondan p dan 43 112 609 gacha, 2 ^p . − Ulardan faqat 47 tasi uchun 1 asosiy hisoblanadi.

Garchi Nikomach barcha mukammal sonlar shaklga ega ekanligini (dalilsiz) taʼkidlagan boʻlsa-da $2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)$ qayerda $2^{n}-1$ tub boʻlsa (garchi u buni biroz boshqacha taʼkidlagan boʻlsa-da), Ibn al-Haysam (Alhazen) taxminan eramizning 1000-yillarida faqat har bir juft mukammal son shu shaklda boʻlishini taxmin qilgan. Faqat 18-asrgacha Leonhard Eyler 2 ^{p −1} (2 ^p) formula ekanligini isbotladi. − 1) barcha juft mukammal sonlarni beradi. Shunday qilib, hatto mukammal sonlar va Mersen tub sonlari oʻrtasida yakkama -yakka muvofiqlik mavjud; har bir Mersenne tub soni bitta mukammal son hosil qiladi va aksincha. Bu natija koʻpincha Evklid-Eyler teoremasi deb ataladi.

GIMPS taqsimlangan hisoblash loyihasi tomonidan olib borilgan toʻliq qidiruv shuni koʻrsatdiki, birinchi 48 ta mukammal son 2 ^{p −1} (2 ^p) − 1) uchun

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 91, 992 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 (sequence

Bundan tashqari, uchta yuqori mukammal sonlar topildi, ular uchun p = 74207281, 77232917 va 82589933. Garchi bu diapazonda boshqalar ham boʻlishi mumkin boʻlsa-da, GIMPS tomonidan oʻtkazilgan dastlabki, ammo toʻliq sinovlar 109332539 dan past boʻlgan p uchun boshqa mukammal raqamlarni aniqlamadi. -dekabr, 2018-yil(2018-12-00) holatiga koʻra , 51 Mersenne tub soni maʼlum, va shuning uchun 51 juft mukammal sonlar (ularning eng kattasi 2 ^82589932 × (2 ^82589933) − 1) 49 724 095 ta raqam bilan). Cheksiz koʻp mukammal sonlar bormi yoki cheksiz koʻp Mersenne tub sonlari bormi nomaʼlum.

Shuningdek, 2 ^{p −1} shakliga ega (2 ^p − 1), har bir juft mukammal son (2^p − 1)th uchburchak soni (va shuning uchun 1 dan 2^p − 1 gacha boʻlgan butun sonlar yigʻindisiga teng)2^p − 1) va 2^p−1th olti burchakli son. Bundan tashqari, 6 dan tashqari har bir juft mukammal son ((2^p + 1)/3)th -nchi markazlashtirilgan nonagonal son va birinchi 2^(p−1)/2 toq kublar (2^(p+1)/2-1 kubgacha boʻlgan toq kublar) yigʻindisiga teng:

${\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}$

Juft mukammal sonlar (bundan mustasno 6) quyidagi shaklga ega:

$T_{2^{p}-1}=1+{\frac {\left(2^{p}-2\right)\times \left(2^{p}+1\right)}{2}}=1+9\times T_{\left(2^{p}-2\right)/3}$

har bir natijada uchburchak soni T₇ = 28, T₃₁ = 496, T₁₂₇ = 8128 (mukammal sondan 1 ni ayirish va natijani 9 ga boʻlishdan keyin) 3 yoki 5 bilan tugaydi, ketma-ketlik T₂ = 3, T₁₀ = 55 bilan boshlanadi T₁₀ = 55, T ₄₂ = 903, T ₂₇₃₀ = 3727815, . . . Buni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: har qanday juft mukammal sonning raqamlarini qoʻshish ( 6), keyin olingan sonning raqamlarini qoʻshib, bitta raqam (raqamli ildiz deb ataladi) olinmaguncha bu jarayonni takrorlash har doim raqamni hosil qiladi. 1. Masalan, 8128 ning raqamli ildizi 1 ga teng, chunki 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, va 1 + 0 = 1. Bu barcha mukammal raqamlar bilan ishlaydi 2 ^{p −1} (2 ^p − 1) toq tub p bilan va aslida 2 ^{m −1} (2 ^m) koʻrinishdagi barcha sonlar bilan − 1) toq butun son uchun (asosiy boʻlishi shart emas) m .

Ularning shakli tufayli 2 ^{p −1} (2 ^p − 1), har bir juft mukammal son ikkilik shaklda p birlikdan keyin ifodalanadi p − 1  nollar; masalan,

6 ₁₀ = 2 ² + 2 ¹ = 110 ₂ ,

28 ₁₀ = 2 ⁴ + 2 ³ + 2 ² = 11100 ₂ ,

496 ₁₀ = 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ = 111110000 ₂ va

8128 ₁₀ = 2 ¹² + 2 ¹¹ + 2 ¹⁰ + 2 ⁹ + 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ = 1111111000000 ₂ .

Shunday qilib, har bir juft mukammal son shunday koʻrinishga ega.

Har bir juft mukammal son shuningdek amaliy sondir.

Toq mukammal sonlar

  Turli natijalar olingan boʻlsa-da, toq mukammal raqamlar mavjudligi nomaʼlum. 1496-yilda Jak Lefevr Evklid qoidasi barcha mukammal sonlarni beradi, deb taʼkidladi, bu esa toq mukammal sonlar mavjud emasligini bildiradi. Eyler shunday dedi: „Boʻlmasa … har qanday toq mukammal raqamlar bor — bu eng qiyin savol.“ Yaqinda Karl Pomerans evristik argumentni taqdim etdi, bu haqiqatan ham toq mukammal son mavjud boʻlmasligi kerak. Barcha mukammal raqamlar ham Rudaning garmonik raqamlari boʻlib, 1 dan boshqa hech qanday toq maʼdan garmonik raqamlari yoʻq deb taxmin qilingan. Toq mukammal sonlar haqida isbotlangan koʻpgina xususiyatlar Dekart raqamlariga ham tegishli va Peys Nilsen bu raqamlarni etarli darajada oʻrganish toq mukammal raqamlar mavjud emasligini isbotlashga olib kelishi mumkinligini aytdi.

Har qanday toq mukammal N soni quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N N ≡ 1 (mod 12) yoki N ≡ 117 (mod 468) yoki N ≡ 81 (mod 324) shaklida.
• N shaklga ega

$N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},$

qayerda:

• q , p ₁ , …, p _k — alohida toq tub sonlar (Eyler).
• q ≡ a ≡ 1 (mod 4) (Euler).
• N ning eng kichik tub omili koʻpi bilan ${\frac {k-1}{2}}.$
• Yoki q ^a > 10 ⁶² yoki p _j ^{2 e _j} > 10 ⁶² baʼzi j uchun.
• $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
• $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}$ .
• $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ .

• N ning eng katta tub omili 10 ⁸ dan katta va undan kichik ${\sqrt[{3}]{3N}}.$
• Ikkinchi eng katta tub omil 10 ⁴ dan katta, va undan kichik ${\sqrt[{5}]{2N}}$ .
• Uchinchi eng katta asosiy omil 100 dan katta, va undan kichik ${\sqrt[{6}]{2N}}.$
• N kamida 101 ta tub omil va kamida 10 ta alohida tub omilga ega. Agar 3 N ning omillaridan biri boʻlmasa, u holda N kamida 12 ta alohida tub omilga ega.