Norton gumbazi

Norton gumbazi Nyuton mexanikasi doirasida deterministik boʻlmagan tizimni koʻrsatadigan fikrlash tajribasidir . U 2003-yilda Jon D. Norton tomonidan ishlab chiqilgan. Bu Sanjay Bhat va Dennis Bernshteyn tufayli 1997-yildagi umumiy misollar sinfining alohida cheklovchi holati. Norton gumbazi muammosi fizika, matematika va falsafadagi muammo sifatida qaralishi mumkin.

Norton gumbazining koʻndalang kesimi, bu yerda h va x birliklarda oʻlchanadi $2g^{2}/(3b^{4})$ .

Tavsifi

Model dastlab tenglamasi bilan tavsiflangan ideallashtirilgan radial simmetrik ishqalanishsiz gumbaz choʻqqisida harakatsiz oʻtirgan ideallashtirilgan zarrachadan iborat:

$h={\frac {2b^{2}}{3g}}r^{\frac {3}{2}}\;;\;0\leq r<{\frac {g^{2}}{b^{4}}},$

bu yerda h — gumbaz tepasidan gumbazdagi nuqtagacha boʻlgan vertikal siljish, r — gumbaz choʻqqisidan shu nuqtagacha boʻlgan geodezik masofa (boshqacha qilib aytganda, radial koordinata r sirtga „yozilgan“), g . gravitatsiya taʼsirida tezlanish va b — proporsionallik doimiysi.

Nyutonning ikkinchi qonunidan sirtda ishqalanishsiz turgan nuqta massasidagi tezlanishning tangens komponenti: $a_{\parallel }=b^{2}{\sqrt {r}}$.

Harakat tenglamalari yechimlari

Norton bu tenglamaning matematik yechimlarining ikki klassi mavjudligini koʻrsatadi. Birinchisida, zarracha gumbaz choʻqqisida abadiy oʻtirib qoladi. Ikkinchisida, zarracha gumbaz choʻqqisida bir muddat oʻtiradi va keyin ixtiyoriy vaqtdan keyin gumbazdan oʻzboshimchalik bilan pastga siljiy boshlaydi. Ushbu ikkinchi holatda koʻrinib turgan paradoks shundaki, bu hech qanday sababsiz va boshqa ob’ektlar tomonidan unga hech qanday radial kuch taʼsir qilmasdan sodir boʻladi, bu fizik sezgi va oddiy intuitiv sabab va taʼsir tushunchalariga ziddir. Harakat hali ham Nyutonning harakat qonunlari matematikasiga toʻliq mos keladi.

Harakatning barcha tenglamalari fizik jihatdan mumkin boʻlgan yechimlar ekanligini koʻrish uchun Nyuton mexanikasining vaqtning qaytarilishidan foydalanish foydali boʻladi. Koptokni gumbazni shunday dumalab koʻtarish mumkinki, u chekli vaqt ichida va nol energiya bilan choʻqqiga yetib boradi va u yerda toʻxtaydi. Vaqtni teskari aylantirish orqali, bu toʻpning tepada bir muddat turishi va keyin istalgan yoʻnalishda pastga tushishi uchun toʻgʻri yechimdir. Biroq, xuddi shu dalil gumbazlarning odatiy turlariga (masalan, yarim sharga) nisbatan qoʻllanilmaydi, chunki choʻqqiga chiqish va u yerda qolish uchun toʻgʻri energiya bilan uchirilgan toʻp aslida cheksiz vaqtni oladi.

Paradoks qarorlari

Nortonning fikrlash tajribasiga koʻp tanqidlar qilingan boʻlsa-da, masalan, Lipschitzning uzluksizligi prinsipining buzilishi (Nyutonning ikkinchi qonunida paydo boʻladigan kuch Lipschitzning zarracha traeyktoriyasining uzluksiz funksiyasi emas — bu mahalliy eksperimentdan qochish imkonini beradi. oddiy differensial tenglamalar yechimlari uchun yagonalik teoremasi) yoki fizik simmetriya tamoyillarini buzgan holda yoki u qandaydir tarzda boshqa maʼnoda „fizik boʻlmagan“ boʻlib, uning tanqidchilari oʻrtasida nima uchun uni notoʻgʻri deb hisoblashlari toʻgʻrisida konsensus yoʻq.

Noaniq hosilalar

Butun argument nuqtadagi zarrachaning xatti-harakatiga bogʻliq $r=0$, u nol tezlikka ega boʻlgan vaqt oraligʻida. Anʼanaviy Nyuton mexanikasi zarrachaning pozitsiyasi cheksiz boʻlishini aytishadi

$h={\frac {F}{2m}}(\Delta t)^{2}$ ,

bir oz vaqt uchun $\Delta t$, lekin bu nuqtada sirtning ikkinchi hosilasi mavjud emasligi sababli, kuch noaniq. Shuning uchun obyektning cheksiz kichik harakati ham noaniq ekanligi toʻliq tushunarli.

Bu paradoksni ikkinchi hosilasi boʻlmagan sirt fizik emasmi degan savolga olib keladi.

Havolalar

• John Nortonning gumbaz haqidagi sahifasi