Ossilyatorning radiatsion soʻnishi

Garmonik ossilyator tenglamasi tahrir

Atom va molekulalar nurlanishida ular tarkibidagi elektronlar muhim rol oʻynaydi. Tebranuvchi dipol, yaʼni ossilyator sifatida muvozanat markazi atrofida tebranuvchi elektron qabul qilinadi. Eng oddiy ossilyator garmonik ossilyatordir. Misol uchun chiziqli garmonik ossilyator bilangina cheklanaylik. Unga taʼsir etuvchi tashqi kuch faqat garmonik kuchdan iborat boʻladi:

f=m{\ddot {x}}=-kx;\ \ \ \ (1)

bu yerda $m$ — ossilyator massasi, $k$ — elastiklik koeffitsienti.

Agar

\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}};\ \ \ \ (2)

desak,

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}=0;\ \ \ \ (3)

boʻladi. Bu differensial tenglamaning yechimi maʼlum:

x=a\cos \omega _{0}t;\ \ \ \ (4)

Ossilyatorga taʼsir qiluvchi kuch bilan uning potensial energiyasi orasidagi bogʻlanish $f=-kx=-{\frac {dU}{dx}}$ , demak, $U={\frac {kx^{2}}{2}}$ yoki (2) va (4) ni hisobga olgan holda quyidagini yozish mumkin:

U={\frac {m\omega _{0}^{2}x^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}a^{2}\cos ^{2}\omega _{0}t

Ossilyatorning kinetik energiyasi esa $T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$ . Demak, (4) ga muvofiq $T={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}a\sin ^{2}\omega _{0}t$ . Ossilyatorning toʻla energiyasi $\mathrm {E} =T+U$ , demak,

\mathrm {E} ={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}a^{2};\ \ \ \ (5)

Garmonik ossilyatorning bir sekundda oʻrtacha nurlanish energiyasi ${\overline {I}}={\frac {p_{0}^{2}}{3c^{3}}}\omega _{0}^{2}$ yoki $p_{0}^{2}=e^{2}a^{2}$ nazarga olinsa,

{\overline {I}}={\frac {e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}\omega _{0}^{4};\ \ \ \ (6)

boʻladi. Nurlanish energiyasi ossilyator energiyasining bir sekundda kamayishi bilan bogʻliq. Demak, $-{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}={\frac {e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}\omega _{0}^{4}$ yoki (5) ga muvofiq $-{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}={\frac {e^{2}\omega _{0}^{2}}{3c^{3}}}{\frac {2\mathrm {E} }{m}}={\frac {2e^{2}\omega _{0}^{2}}{3mc^{2}}}\mathrm {E}$ . Quyidagicha belgilash kiritamiz:

\gamma ={\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}\omega _{0}^{2}}{mc^{3}}};\ \ \ \ (7)

demak, $-{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\gamma \mathrm {E}$ va bu differensial tenglamaning integrali

\mathrm {E} =\mathrm {E} _{0}e^{-\gamma t};\ \ \ \ (8)

boʻladi. Koʻramizki, nurlanish natijasida ossilyator energiyasining kamayishi, demak, tebranishning soʻnishi roʻy beradi. Bu hodisa ossilyatorning radiatsion soʻnishi deyiladi.

Relaksatsiya vaqti tahrir

(8) dagi daraja koʻrsatkichini ifodalovchi koʻpaytma $\gamma \cdot t$ oʻlchamsiz boʻlishi lozim, demak, $\gamma$ ning oʻlchamiligi vaqt oʻlchamligiga teskari boʻlishi lozim. Quyidagicha belgilash kiritamiz:

\tau ={\frac {1}{\gamma }}={\frac {3mc^{3}}{2e^{2}\omega _{0}^{2}}};\ \ \ \ (9)

u holda

\mathrm {E} =\mathrm {E} _{0}e^{-{\frac {t}{\tau }}};\ \ \ \ (10)

boʻladi. Koʻramizki, $t=\tau$ vaqt ichida ossilyatorning energiyasi $e=2,718$ marta kamayadi. Bu vaqt relaksatsiya vaqti deyiladi.

Nurlanish reaksiyasi kuchining tashqi kuchga nisbatan juda kichikligini ifodalovchi (4) dan maʼlumki, $1<<{\frac {3mc^{2}}{2e^{2}\omega _{0}^{3}}}$ , demak, (9) ga muvofiq ${\frac {\omega _{0}}{\gamma }}>>1$ , yaʼni ${\frac {1}{\gamma }}>>{\frac {1}{\omega _{0}}}$ yoki ${\frac {1}{\gamma }}=\tau$ va $\omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}=2\pi \nu _{0}={\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}$ nazarga olinsa,

\tau >>T_{0};\ \ \ \ (11)

Koʻramizki, ossilyatorning tebranish davriga nisbatan relaksatsiya vaqti juda ham kattadir. Soʻnggi tengsizlikni bir necha misollar ustida tekshirib koʻrish mumkin.

Misollar tahrir

Koʻzga koʻrinuvchi nurlar uchun $\lambda _{0}\sim 10^{-5}$ sm, u vaqtda $T_{0}\sim 10^{-15}$ s boʻladi, elektron massasi m, zaryadi e, c, $\omega _{0}$ qiymatlari (9) ga qoʻyilsa, $\tau \sim 10^{-8}$ s, demak, ${\frac {\tau }{T_{0}}}\sim 10^{7}$ boʻladi. Rentgen nurlari uchun $\lambda \sim 10^{-8}$ sm, $T_{0}\sim 10^{-18}$ s, $\tau \sim 10^{-6}$ s, demak, ${\frac {\tau }{T_{0}}}\sim 10^{12}$ boʻladi. Koʻramizki, relaksatsiya vaqtida ossilyator bir necha million marta tebranib ulguradi. Atom yoki molekula uygʻongan holatda yashab turib, nurlanish yoʻli bilan energiyasining koʻproq qismini tashqariga chiqarish vaqtida relaksatsiya vaqti bilan oʻlchashimiz mumkin. Odatda, bu vaqt uygʻongan holatda yashash vaqti deyiladi.