Toʻgʻri burchakli uchburchak

Toʻgʻri burchakli uchburchak — Bitta burchagi toʻgʻri, yaʼni 90° (yoki $\pi /2$ radian) boʻlgan uchburchak.

To'g'ri burchakli uchburchak

Uchburchakning to'g'ri burchagi qarshisida yotgan tomon gipotenuza (rasmda $c$ bilan belgilangan) deb ataladi. To'g'ri burchakni tashkil qiluvchi ikkita tomon uchburchak katetlari deb ataladi (rasmda $a$ va $b$ tomonlar)

Har bir to'g'ri burchakli uchburchakka diagonali yordamida bo'lingan yarim to'g'ri to'rtburchak sifatida qarash mumkin.

Xossalar

Burchaklar

To'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri bo'lmagan burchaklari, bir-birini to'ldiruvchi burchaklar hisoblanadi. Ularning yig'indisi 90° ga teng. Bu burchaklardan birini α, ikkinchisini β deb qarasak, trigonometriyaga ko'ra, quyidagilar o'rinli:

$sin\alpha =cos\beta$

$cos\alpha =sin\beta$

$tg\alpha =ctg\beta$

$ctg\alpha =tg\beta$

Pifagor teoremasi

To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va katetlari Pifagor teoremasini qanoatlantiradi: ikkita katet kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga tengdir: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Agar to'g'ri burchakli uchburchakning barcha tomonlari butun sonlardan iborat bo'lsa, bunday uchburchak Pifagor uchburchagi deyiladi, uchburchakni tashkil qiluvchi tomonlar uzunliklari esa birgalikda Pifagor sonlarini hosil qiladi.

Agar to'g'ri burchakli uchburchak teng yonli bo'lsa va uning kateti $a$ ga teng bo'lsa, uchburchak gipotenuzasi, $c$, √2$a$ ga tengdir:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ va $a=b$ ga ko'ra, $c^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}\Rightarrow c=$ √2$a$ ga erishiladi.

Trigonometriyada qo'llanishi

To'g'ri burchakli uchburchak tomonlari va burchaklari trigonometriyada keng qo'llaniladi. To'g'ri burchakli uchburchakning bir burchagi 0° $<\alpha <$ 90° bo'lsin. Aytaylik ushbu α burchakka yopishgan katet $a$, uning qarshisidagi katet $b$, uchburchak gipotenuzasi $c$ bo'lsin. U holda α burchakning trigonometrik funksiyalardagi qiymatlari quyidagicha topiladi:

• α burchak sinusi deb, ushbu burchak qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbati tushuniladi: $sin\alpha ={\frac {b}{c}}$
• α burchak kosinusi deb, ushbu burchakka yopishgan katetning gipotenuzaga nisbati tushuniladi:

$cos\alpha ={\frac {a}{c}}$

• α burchak tangensi deb, ushbu burchak qarshisidagi katetning unga yopishgan katetga nisbati tushuniladi: $tg\alpha ={\frac {b}{a}}$
• α burchak kotangensi deb, ushbu burchakka yopishgan katetning uning qarshisidagi katetga nisbati tushuniladi: $ctg\alpha ={\frac {a}{b}}$

Bir burchagi 30° bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak

Agar to'g'ri burchakli uchburchakning bir burchagi 30° bo'lsa va uning qarshisidagi katet $a$ ga teng bo'lsa, $sin30$° = ${\frac {1}{2}}$ bo'lgani sababli uchburchak gipotenuzasi $2a$ ga teng. $cos30$° = ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ bo'lgani sababli, uchburchakning ikkinchi kateti ${\sqrt {3}}a$ ga teng.

Tashqi va ichki chizilgan aylana radiuslari

To'g'ri burchakli uchburchakning katetlari $a$ va $b$, gipotenuzasi esa $c$ bo'lsin.

U holda, unga ichki chizilgan aylana radiusi $r$ quyidagi formula orqali topiladi:

$r={\frac {a+b-c}{2}}$

Unga tashqi chizilgan aylana radiusi $R$ ushbu formula bilan topiladi:

$R={\frac {c}{2}}$

Gipotenuzaga tushirilgan mediana

To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga tengdir:

$m_{c}={\frac {c}{2}}$

Gipotenuzaga tushirilgan balandlik

To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan balandlik va u ajratgan proyeksiyalar

To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga balandlik tushirilganda, balandlik ajratgan kesmalar katetlarning proyeksiyalari deb atadi. Rasmda, $p$ - bu $r$ katetning gipotenuzadagi proyeksiyasi, $q$ esa, $s$ katetning gipotenuzadagi proyeksiyasi.

To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga tushirilgan balandlikning kvadrati u hosil qilgan kesmalar ko'paytmasiga teng:

Rasmda, $h^{2}=pq$

To'g'ri burchakli uchburchak yuzasini topish

Tomonlari $a$, $b$, $c$ bo'lgan, unga ichki chizilgan aylana radiusi $r$, tashqi chizilgan aylana radiusi $R$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak yuzasi $S$ quyidagi yo'llar orqali topilishi mumkin.

• $S={\frac {ab}{2}}$
• $S=r(2R+r)$
• $S={\frac {a+b+c}{2}}\cdot {\frac {a+b-c}{2}}$

Yana qarang

• Pifagor teoremasi
• Toʻgʻri burchak
• Uchburchak
• Mediana