Uchburchak — bir toʻgʻri chiziqda yotmagan uchta nuqta va uchlari shu nuqtalarda boʻlgan uchta kesmadan yasalgan figura. Berilgan nuqtalar uchburchakning uchlari, uchlarini tutashtiruvchi kesmalar uchburchakning tomonlari, tomonlari orasidagi uchta burchak uchburchakning burchaklari deyiladi. Uchala tomonioʻzarotengboʻlganuchburchak teng tomonli (rayem, a), ikki tomoni teng boʻlsa, teng yonli (rayem, b) uchburchak deyiladi. Uchala burchagi oʻtkir boʻlgan uchburchak oʻtkir burchakli (rayem, v), burchaklaridan biri toʻgʻri boʻlsa, toʻgʻri burchakli (rayem, g), burchaklaridan biri oʻtmas boʻlsa, oʻtmas burchakli (rayem, d) deyiladi. Uchburchakda faqat bitta toʻgʻri yoki oʻtmas burchak boʻladi (chunki uchburchakning barcha burchaklari yigʻindisi ikki toʻgʻri burchak, yaʼni 180° yoki radian oʻlchovida ya ga teng). Uchburchakning yuzi S = u ah ga teng (bunda, a — uchburchak tomonlaridan biri, h — esa oʻsha tomonga tushirilgan balandlik). Uchburchak har tomonining uzunligi qolgan ikki tomon uzunliklari yigʻindisidan kichik, ayirmasidan esa kattadir. Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, ikki uchburchak teng boʻladi: 1) tomonlari moye ravishda teng; 2) ikkitadan tomonlari va bu tomonlar orasidagi burchaklari teng; 3) bittadan tomonlari va bu tomonga yopishgan ikkitadan burchaklari teng . Uchburchaklarning koʻpgina boshqa xossalarini trigonometriya, sferik geometriya, sferik trigonometriya va boshqa sohalarda oʻrganiladi.

Uchburchak geometrik figuralardan biri boʻlib, bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va shu nuqtalarni ketma-ket tutashtirishdan hosil boʻlgan figura. Nuqtalar uchburchakning uchlari, kesmalar esa uning tomonlari hisoblanadi. Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish bilan belgilanadi. „Uchburchak“ soʻzi oʻrniga baʼzan Fayl:Trianglen.jpg belgidan foydalaniladi.


Uchburchak turlariTahrirlash

Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:


     
Teng tomonliTeng yonliTurli tomonli


Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:


Asosiy xossalariTahrirlash

 
Tashqi d burchagi koʻrsatilgan uchburchak
 
Uchburchak ichki burchaklari 180° ga teng(bir xil rangdagilari oʻzaro teng)
  • uchburchak ichki burchaklari yigʻindini 180° ga teng;
  • uchburchakning tashqi burchagi oʻziga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng;
  • hamma koʻpburchaklar singari, uchburchak tashqi burchaklari yigʻindisi 360°ga teng;
  • uchburchakning ixtiyoriy ikkita tomoni yigʻindisi doim uchunchi tomondan katta boʻladi:a+b>c, a+c>b, b+c>a
 
Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi toʻgʻri burchakli uchburchakka oid boʻli, toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yigʻindisiga teng.Katetlarining uzunligi a va b, gipotenuzasi uzunligi c boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak berilgan boʻlsin, u holda Pifagor teoremasi:  formula bilan ifodalanadi. Toʻgʻri burchakli uchburchakning asosiy xossalari:

  • toʻgʻri burchakli uchburchakning oʻtkir burchaklari yigʻindisi 90° ga teng boʻlib, ular bir-birini oʻrnini toʻldiradi;
  • agar toʻgʻri burchakli uchburchakning katetlari teng boʻlsa katetlari qarshisidagi burchaklari 45° dan va Pifagor teoremasiga koʻra gipotenuzasi quyidagi formula yordamida topiladi:c=√2a;
  • burchaklari oʻzaro 30° va 60° dan iborat toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kichik burchak qarshisidagi katetning ikkilanganiga teng: ;
  • barcha toʻgʻri burchakli uchburchakda, gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng : .

Uchburchak yuzini hisoblashTahrirlash

Uchburchak yuzini hisoblashni bir necha usulllari boʻlib. Bularni ichida eng soddasi ushbu formula bilan hisoblanadi: : 

Bu yerda S — uchburchak yuzi, b — uchburchak asosi(uchburchak tomoni),  - asosga tushirilgan balandlik. Biz bu formulani faqatgina balandlik va asosi aniq boʻlganda qoʻllashimiz mumkin.

Geron formulasi yordamida hisoblashTahrirlash

Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq boʻlgandagina foydalanish mumkin. Geron formulasi quyidagicha:

: 

Bu yerda   ga teng yoki uchburchak peremetrini yarmi deb olsak ham boʻladi,   — uchburchak tomonlari uzunligi.

Geron formulasi yozilishining yana 2 ta ekvivalent yoʻli bor:

 
 
 

Burchak sinusi yordamida hisoblashTahrirlash

 
Tomonlari a, b, c va burchaklari α, β, γ boʻlgan uchburchak.

Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boʻyicha hisoblash mumkin. Yaʼni quyidagi formula orqali:  . Bu yerda a, b,c — uchburchak tonomlari, α,β,γ — uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.

Medianalar orqali hisoblashTahrirlash

Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ham aniq boʻlganda biz quyidagi formula orqali uchburchak yuzini hisoblaymiz:

 

Bu yerda  ,   — tomonlariga tushirilgan mediana uzunligi.

Uchburchaklarning tengsizligiTahrirlash

Uchburchak tomonlarini ixtiyoriy belgilab boʻlmaydi. Ular quyidagi tengsizliklar bilan bogʻlangan (a, b, c uchburchak tomonlari):

  •  
  •  
  •  

Yuqoridagi tengsizliklardan birortasi bajarilmagan holatda esa, uchburchak chala deb ataladi.

Uchburchaklar tengligi alomatlariTahrirlash

Uchburchaklar elementlarining quyidagi uchta alomatlariga asoslanib teng uchburchaklar hisoblanadi:

  • a, b, c (uchala tomonlarining tengligi);
  • a, b, γ (ikki tomonlari va ular orasidagi burchak tengligi);
  • a, β, γ (bir tomoni va unda yotgan burchaklari tengligi).

Oʻxshash uchburchaklarTahrirlash

Oʻxshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional boʻladi. Ikki oʻxshash uchburchak yuzlari nisbati o'xshashlik koeffitsentining kvadratida teng.

Uchburchak oʻxshashligining alomatlari:

  • Teorema (Uchburchak oʻxshahsligining BB alomati):Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga mos ravishda teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
  • Teorema (Uchburchak oʻxshashligining TBT alomati):Aga bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional va bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
  • Teorema (Uchburchaklar oʻxshashligining TTT alomati):Agar bir uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda proporsional boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.

HavolalarTahrirlash


     
Toʻgʻri burchakliOʻtmas burchakliOʻtkir burchakli