Angarmoniya

Klassik mexanikada anharmoniklik, tizimning harmonik osilatör boʻlishdan ogʻishidir . Harmonik harakatda salınmayan osilator, anharmonik osilatör sifatida tanilgan, bu yerda tizim harmonik osilatöre yaklaştırılabilir va anharmoniklik tebranish nazariyasi yordamida hisoblanishi mumkin. Agar anharmoniya katta boʻlsa, unda boshqa raqamli usullardan foydalanish kerak. Haqiqatda barcha tebranuvchi tizimlar harmonikdir, lekin garmonik osilatorga koʻproq yaqinroq boʻlsa, tebranish amplitudasi qanchalik kichik boʻlsa.

Ikki atomli molekulaning potentsial energiyasi atom oraligʻining funktsiyasi sifatida. Molekulalar juda yaqin yoki juda uzoqda boʻlganda, ular u ₀ ga qayta tiklovchi kuchni boshdan kechiradilar. (Tasavvur qiling-a, marmar tushkunlikda oldinga va orqaga aylanadi.) Moviy egri shakl jihatidan molekulaning haqiqiy potentsial qudugʻiga yaqin, qizil parabola esa kichik tebranishlar uchun yaxshi taxminiydir. Qizil yaqinlashish molekulani garmonik osilator sifatida koʻrib chiqadi, chunki tiklovchi kuch -V'(u) u siljishiga nisbatan chiziqli .

Natijada, chastotalar bilan tebranishlar $2\omega$ va $3\omega$ va boshqalar, qayerda $\omega$ osilatorning asosiy chastotasi, paydo boʻladi. Bundan tashqari, chastota $\omega$ chastotasidan chetga chiqadi $\omega _{0}$ garmonik tebranishlardan. Shuningdek qarang intermodülasyon va kombinatsiya ohanglari . Birinchi taxmin sifatida, chastota siljishi $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ tebranish amplitudasining kvadratiga proporsionaldir $A$ :

$\Delta \omega \propto A^{2}$

Tabiiy chastotalar bilan osilatorlar tizimida $\omega _{\alpha }$, $\omega _{\beta }$, … anharmoniklik chastotalar bilan qoʻshimcha tebranishlarga olib keladi $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ .

Angarmoniklik rezonans egri chizigʻining energiya profilini ham oʻzgartiradi, bu esa katlama effekti va superharmonik rezonans kabi qiziqarli hodisalarga olib keladi.

Umumiy tamoyil

Anharmonik harakatni koʻrsatadigan 2 DOF elastik mayatnik.

Harmonic vs. Anharmonic Oscillators

"Blok-on-a-bahor" garmonik tebranishning klassik namunasidir. Blokning joylashuviga qarab, x, u o'rtaga qarab tiklovchi kuchga ega bo'ladi. Qayta tiklovchi kuch x ga proportsionaldir, shuning uchun tizim oddiy garmonik harakatni ko'rsatadi.

Mayatnik oddiy va garmonik osilatordir. Massaning burchak holatiga qarab th, tiklovchi kuch th koordinatasini o'rtaga orqaga suradi. Bu osilator anharmonik, chunki tiklovchi kuch th ga emas, balki sin(th) ga proportsionaldir. Chunki chiziqli funksiya y = th chiziqli bo'lmagan funksiyaga y = sin(th) yaqinlashadi. th kichik, tizim kichik tebranishlar uchun garmonik osilator sifatida modellashtirilgan bo'lishi mumkin.

  Osilator — bu mayatnik, sozlash vilkasi yoki tebranuvchi diatomik molekula kabi davriy harakat bilan tavsiflangan jismoniy tizim. Matematik jihatdan aytganda, osilatorning muhim xususiyati shundaki, tizimning baʼzi x koordinatalari uchun kattaligi x ga bogʻliq boʻlgan kuch x ekstremal qiymatlardan uzoqlashtiradi va baʼzi bir markaziy qiymat x₀ tomon itaradi, bu esa x ning ekstremallar oʻrtasida tebranishini keltirib chiqaradi. Misol uchun, x mayatnikning dam olish holatidan siljishini ifodalashi mumkin x=0 . x ning mutlaq qiymati oshgani sayin, mayatnikning ogʻirligiga taʼsir qiluvchi tiklovchi kuch kuchayadi va bu uni dam olish holatiga qaytaradi.

Garmonik osilatorlarda tiklovchi kuch x ning tabiiy holatidan x₀ siljishiga kattaligi boʻyicha mutanosib (va yoʻnalish boʻyicha qarama-qarshi) boʻladi. Olingan differensial tenglama x ning vaqt oʻtishi bilan sinusoidal tebranishini, tizimga xos boʻlgan tebranish davriga ega boʻlishi kerakligini anglatadi. x har qanday amplituda bilan tebranishi mumkin, lekin har doim bir xil davrga ega boʻladi.

Angarmonik osilatorlar esa tiklovchi kuchning x siljishiga nochiziqli bogʻliqligi bilan tavsiflanadi. Binobarin, angarmonik osilatorning tebranish davri uning tebranish amplitudasiga bogʻliq boʻlishi mumkin.

Angarmonik osilatorlarning chiziqli boʻlmasligi natijasida tebranish chastotasi tizimning siljishiga qarab oʻzgarishi mumkin. Tebranish chastotasidagi bu oʻzgarishlar energiyaning parametrik ulanish deb nomlanuvchi jarayon orqali asosiy tebranish chastotasidan boshqa chastotalarga bogʻlanishiga olib keladi. 

Chiziqli boʻlmagan tiklovchi kuchni x ning tabiiy holatidan siljishining F(x − x₀) funktsiyasi sifatida koʻrib chiqsak, biz F uning chiziqli yaqinlashuvi F₁ = F′(0) ⋅ (x−x₀) nolga almashtirishimiz mumkin. siljish. Taxminlovchi funksiya F ₁ chiziqli, shuning uchun u oddiy garmonik harakatni tasvirlaydi. Bundan tashqari, bu F₁ funksiyasi x − x₀ kichik boʻlganda aniq boʻladi. Shu sababli, tebranishlar kichik boʻlsa, garmonik harakatni garmonik harakat sifatida taxmin qilish mumkin.

Fizikadan misollar

Jismoniy dunyoda chiziqli boʻlmagan massa-bahor tizimiga qoʻshimcha ravishda anharmonik osilatorlar sifatida modellashtirilishi mumkin boʻlgan koʻplab tizimlar mavjud. Masalan, manfiy zaryadlangan elektron bulut bilan oʻralgan musbat zaryadlangan yadrodan tashkil topgan atom elektr maydoni mavjud boʻlganda yadroning massa markazi va elektron bulut oʻrtasida siljishni boshdan kechiradi. Elektr dipol momenti deb ataladigan bu siljishning miqdori kichik maydonlar uchun qoʻllaniladigan maydon bilan chiziqli bogʻliqdir, lekin maydon kattaligi oshishi bilan maydon va dipol moment munosabatlari xuddi mexanik tizimdagi kabi chiziqli boʻlmagan boʻladi.

Angarmonik osilatorlarning boshqa misollari orasida katta burchakli mayatnik; katta issiq tashuvchi populyatsiyaga ega boʻlgan muvozanatsiz yarimoʻtkazgichlar, ular tashuvchilarning samarali massasi bilan bogʻliq boʻlgan har xil turdagi chiziqli boʻlmagan xatti-harakatlarni namoyish etadi; va ionosfera plazmalari, ular ham plazmaning anharmonikligiga asoslangan chiziqli boʻlmagan xatti-harakatlarni koʻrsatadi, koʻndalang tebranuvchi iplar . Aslida, deyarli barcha osilatorlar nasos amplitudasi maʼlum bir chegaradan oshib ketganda anharmonik boʻlib qoladi va buning natijasida ularning xatti-harakatlarini tavsiflash uchun chiziqli boʻlmagan harakat tenglamalaridan foydalanish kerak boʻladi.

Angarmoniklik panjara va molekulyar tebranishlarda, kvant tebranishlarida va akustikada rol oʻynaydi. Molekula yoki qattiq jismdagi atomlar muvozanat holatida tebranadi. Ushbu tebranishlar kichik amplitudalarga ega boʻlganda, ular harmonik osilatörler tomonidan tasvirlanishi mumkin. Biroq, tebranish amplitudalari katta boʻlganda, masalan, yuqori haroratlarda, anharmoniklik muhim boʻladi. Angarmoniklik taʼsiriga misol sifatida qattiq jismlarning termal kengayishi kiradi, bu odatda kvazigarmonik yaqinlashish doirasida oʻrganiladi. Kvant mexanikasidan foydalangan holda tebranish anharmonik tizimlarni oʻrganish hisoblashni talab qiladigan vazifadir, chunki angarmoniklik nafaqat har bir osilatorning potentsialini murakkablashtiradi, balki osilatorlar oʻrtasidagi bogʻlanishni ham keltirib chiqaradi. Har ikkala molekula va qattiq jismlardagi atomlar tomonidan boshdan kechirilgan angarmonik potentsialni xaritalash uchun zichlik-funktsional nazariya kabi birinchi printsiplardan foydalanish mumkin. Keyinchalik aniq angarmonik tebranish energiyasini oʻrtacha maydon nazariyasi doirasida atomlar uchun angarmonik tebranish tenglamalarini echish orqali olish mumkin. Nihoyat, oʻrtacha maydon formalizmidan tashqariga chiqish uchun Moller-Plesset tebranish nazariyasidan foydalanish mumkin.

Tebranishlar davri

Massani koʻrib chiqing $m$ potentsial quduqda harakatlanish $U(x)$ . Tebranish davri olinishi mumkin

$T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}$

Manbalar

• Elmer, Franz-Josef (July 20, 1998), Nonlinear Resonance, University of Basel, archived from the original on June 13, 2011, retrieved October 28, 2010
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976), Mechanics (3rd ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A.; Cavicchia, D. R. (2011), „Anharmonic dynamics of a mass O-spring oscillator“, American Journal of Physics, 79 (7): 730-735, Bibcode:2011AmJPh..79..730F, doi:10.1119/1.3579129