Aylanish markazi(o‘qi)

Tekis harakatlanayotgan jismning lahzali aylanish markazi (bir lahzali tezlik markazi, oniy markaz yoki tekis siljish qutbi deb ham ataladi) vaqtning maʼlum bir lahzasida nol tezlikka ega boʻlgan nuqtadir. Shu lahzada tananing boshqa nuqtalarining tezlik vektorlari bu aylanish markazi atrofida aylana maydon hosil qiladi, bu sof aylanish natijasida hosil boʻladigan narsaga oʻxshashdir.

1-chizma: Harakatlanuvchi tekislikning oniy P markazi

Jismning tekislik harakati koʻpincha ikki oʻlchovli tekislikda harakatlanadigan tekislik figurasi yordamida tasvirlanadi. Tez markaz — bu harakatlanuvchi tekislikdagi nuqta, uning atrofida boshqa barcha nuqtalar maʼlum bir vaqtning oʻzida aylanadi.

Samolyotning uzluksiz harakati vaqt parametrining har bir qiymati uchun tezkor markazga ega. Bu harakatlanuvchi sentrod deb ataladigan egri chiziq hosil qiladi. Ushbu tezkor markazlarga mos keladigan qoʻzgʻalmas tekislikdagi nuqtalar qoʻzgʻalmas tsentrodni tashkil qiladi.

Ushbu kontseptsiyani 3 oʻlchovli fazoga umumlashtirish vintni burishdir. Vintda 3D fazoda chiziq boʻlgan oʻq bor (kelib chiqishi shart emas), aylanish oʻqi; vint, shuningdek, cheklangan qadamga ega (val oʻqi atrofida aylanishga mos keladigan oʻq boʻylab oʻzgarmas harakat).

Tekis(planar) siljishning qutbi

2-chizma: tekis siljishning qutbi

Tezlik markazini tekis siljish qutbining cheklovchi holati deb hisoblash mumkin.

Jismning 1-pozitsiyadan 2-oʻringa planar joy almashishi, tekislik aylanish va planar translasyon kombinasyonu bilan belgilanadi. Har qanday tekis siljish uchun harakatlanuvchi jismda siljishdan oldin va keyin bir joyda joylashgan nuqta mavjud. Koʻchirishni ushbu qutb atrofida aylanish sifatida koʻrish mumkin.

Planar siljishning qutbi uchun qurilish: Birinchidan, harakatlanuvchi jismda ikkita A va B nuqtani tanlang va ikkita holatda mos keladigan nuqtalarni topamiz(rasmga qarang). Ikki A¹A² va B¹B² segmentlariga perpendikulyar bissektrisalarni tuzing. Bu ikki bissektrisaning P kesishmasi tekis siljishning qutbidir. Eʼtibor bering, A¹ va A² P atrofida aylanada yotadi. Bu jismning har bir nuqtasining mos keladigan pozitsiyalari uchun toʻgʻri keladi.

Agar jismning ikki pozitsiyasi tekis harakatda vaqt lahzasi bilan ajratilsa, siljish qutbi lahzali markazga aylanadi. Bunday holda, A va B nuqtalarining oniy pozitsiyalari oʻrtasida tuzilgan segmentlar V_A va V_B tezlik vektorlariga aylanadi. Ushbu tezlik vektorlariga perpendikulyar chiziqlar lahzali markazda kesishadi.

Dekart koordinatalarining algebraik qurilishi $\left(P_{x},P_{y}\right)$ quyidagicha tartibga solish mumkin: Oʻrta nuqta $A^{1}$ va $A^{2}$ Dekart koordinatalariga ega

$A_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{x}^{1}+A_{x}^{2}\right);\quad A_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(A_{y}^{1}+A_{y}^{2}\right),$

va orasidagi oʻrta nuqta $B^{1}$ va $B^{2}$ Dekart koordinatalariga ega

$B_{x}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{x}^{1}+B_{x}^{2}\right);\quad B_{y}^{m}={\frac {1}{2}}\left(B_{y}^{1}+B_{y}^{2}\right).$

Ikki burchakdan $A^{1}$ uchun $A^{2}$ va dan $B^{1}$ uchun $B^{2}$ gorizontalga nisbatan soat miliga teskari oʻlchanganlar bilan aniqlanadi:

$\tan \tau _{A}={\frac {A_{y}^{2}-A_{y}^{1}}{A_{x}^{2}-A_{x}^{1}}},\quad \tan \tau _{B}={\frac {B_{y}^{2}-B_{y}^{1}}{B_{x}^{2}-B_{x}^{1}}},$

tangensning toʻgʻri shoxlarini olish. Markazga ruxsat beramiz $\left(P_{x},P_{y}\right)$ aylanishlarning masofalari bor $d_{A}$ va $d_{B}$ ikkita oʻrta nuqtaga. Soat yoʻnalishi boʻyicha aylanishni nazarda tutsak (aks holda belgisini almashtiring $\pi /2$):

${\begin{aligned}P_{x}&=A_{x}^{m}+d_{A}\cos \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{x}^{m}+d_{B}\cos \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right);\\P_{y}&=A_{y}^{m}+d_{A}\sin \left(\tau _{A}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=B_{y}^{m}+d_{B}\sin \left(\tau _{B}-{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}$

Buni 4 nomaʼlum (ikki masofa) boʻlgan 4 × 4 bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi sifatida qayta yozamiz. $d$ va ikkita koordinata $P$ markazdan):

${\begin{pmatrix}1&0&-\sin \tau _{A}&0\\1&0&0&-\sin \tau _{B}\\0&1&\cos \tau _{A}&0\\0&1&0&\cos \tau _{B}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{x}^{m}\\B_{x}^{m}\\A_{y}^{m}\\B_{y}^{m}\end{pmatrix}}.$

Aylanish markazining koordinatalari eritma vektorining dastlabki ikki komponentidir

${\begin{pmatrix}P_{x}\\P_{y}\\d_{A}\\d_{B}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin \left(\tau _{A}-\tau _{B}\right)}}{\begin{pmatrix}\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\sin \tau _{B}+B_{x}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-A_{x}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(A_{x}^{m}-B_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}\cos \tau _{B}+A_{y}^{m}\sin \tau _{A}\cos \tau _{B}-B_{y}^{m}\cos \tau _{A}\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{B}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{B}\\\left(B_{x}^{m}-A_{x}^{m}\right)\cos \tau _{A}+\left(B_{y}^{m}-A_{y}^{m}\right)\sin \tau _{A}\\\end{pmatrix}}.$

Sof oʻzgarish

Agar ikkita pozitsiya orasidagi siljish sof oʻzgarish boʻlsa, u holda A¹B¹ va A²B² segmentlarining perpendikulyar bissektrisalari parallel chiziqlar hosil qiladi. Ushbu chiziqlar chiziqning cheksiz nuqtasida kesishadi deb hisoblanadi, shuning uchun bu tekis siljishning qutbi perpendikulyar bissektrisalar yoʻnalishi boʻyicha „cheksizlikda yotadi“.

Limitda sof oʻzgarish parallel boʻlgan nuqta tezligi vektorlari bilan tekis harakatga aylanadi. Bunday holda, lahzali markaz tezlik vektorlariga perpendikulyar yoʻnalishda abadiylikda yotadi.

Sirpanmasdan aylanayotgan gʻildirakning markazidagi tezligi

3-chizma: aylanma gʻildirak.

Nuqtalarga boʻlingan aylanuvchi gʻildirakning tezkor aylanish markazi. Aylanadigan gʻildirakni bir nechta nuqtalarga boʻlish orqali gʻildirakning barcha nuqtalari har bir lahzada bitta nuqta atrofida qanday aylanishini osonroq koʻrish mumkin. Bu nuqta qora rangda koʻrsatilgan tezkor aylanish markazidir.

Chiziqli yoʻlda sirgʻalib ketmasdan aylanayotgan dumaloq gʻildirakning tekis harakatini koʻrib chiqaylik; 3-chizmaga qarang. Gʻildirak oʻz oʻqi M atrofida aylanadi, bu esa yoʻlga parallel yoʻnalishda aylanadi. Gʻildirakning P ning yoʻl bilan aloqa nuqtasi sirpanmaydi, yaʼni P nuqtasi yoʻlga nisbatan nol tezlikka ega. Shunday qilib, gʻildirakdagi P nuqta yoʻl bilan aloqa qilganda, u bir zumda markazga aylanadi.

Tez markazlarga aylanadigan harakatlanuvchi gʻildirakning nuqtalari toʻplami harakatlanuvchi tsentrodni belgilaydigan aylananing oʻzi. Ruxsat etilgan tekislikdagi bu lahzali markazlarga mos keladigan nuqtalar sobit sentrodni belgilaydigan yoʻl chizigʻidir.

Gʻildirakdagi A nuqtaning tezlik vektori AP segmentiga perpendikulyar va bu segmentning uzunligiga proportsionaldir. Xususan, gʻildirakdagi nuqtalarning tezliklari gʻildirakning P atrofida aylanishdagi burchak tezligi bilan aniqlanadi. Bir qator nuqtalarning tezlik vektorlari 3-chizmada tasvirlangan.

Gʻildirakdagi nuqta P lahzali markazdan qanchalik uzoqda boʻlsa, uning tezligi proportsional ravishda katta boʻladi. Shuning uchun gʻildirakning yuqori qismidagi nuqta gʻildirakning M markazi bilan bir xil yoʻnalishda harakat qiladi, lekin ikki baravar tezroq, chunki u P dan ikki baravar uzoqroqdir. Barcha nuqtalar radiusga teng masofa. P nuqtadan 'r' gʻildiragi M nuqtasi bilan bir xil tezlikda, lekin turli yoʻnalishlarda harakat qiladi. Bu gʻildirakdagi M bilan bir xil tezlikka ega boʻlgan, lekin P atrofidagi aylanaga tangens yoʻnalishda harakatlanadigan nuqta uchun koʻrsatilgan.

Ikki kontaktli tekis jismlar uchun nisbiy aylanish markazi

4-chizma: aylanishning nisbiy markaziga misol. C nuqtasida aloqada boʻlgan ikkita jism, biri A atrofida, ikkinchisi esa B atrofida aylanadi, AB chizigʻi boʻylab bir joyda nisbiy aylanish markaziga ega boʻlishi kerak. Qismlar bir-biriga kira olmaganligi sababli, nisbiy aylanish markazi ham kontaktga normal yoʻnalish boʻylab va C orqali boʻlishi kerak. Yagona mumkin boʻlgan yechim, agar nisbiy markaz D da boʻlsa.

Agar ikkita tekis qattiq jismlar aloqada boʻlsa va har bir jismning oʻziga xos aylanish markazi boʻlsa, u holda jismlar orasidagi nisbiy aylanish markazi ikkala markazni bogʻlaydigan chiziqda biron bir joyda yotishi kerak. Natijada, sof dumalash faqat aylanish markazi aloqa nuqtasida boʻlganda (yuqorida yoʻlda gʻildirak bilan koʻrsatilganidek) mavjud boʻlishi mumkinligi sababli, u faqat kontakt nuqtasi ikkita aylanish markazini bogʻlaydigan chiziqdan oʻtganda boʻladi. toza prokatga erishish mumkin. Bu involyut tishli konstruksiyada viteslar oʻrtasida nisbiy siljish boʻlmagan qadam nuqtasi sifatida tanilgan. Aslida, ikkita aylanadigan qism orasidagi tishli nisbati ikki masofaning nisbiy markazga nisbati bilan topiladi. 4-sketchdagi misolda tishli uzatish nisbati $\gamma ={\frac {AD}{BD}}$

MArkazning tez aylanishi va mexanizmlar

Yuqoridagi 1-chizma toʻrt chiziqli ulanishni koʻrsatadi, bu yerda bir qator tezkor aylanish markazlari tasvirlangan. BAC harflari bilan qayd etilgan qattiq jism P₁ -A va P₂ -B rishtalari bilan poydevor yoki ramka bilan bogʻlangan.

Ushbu mexanizmning uchta harakatlanuvchi qismi (tayanch harakatlanmaydi): havola P₁ -A, havola P₂ -B va BAC tanasi. Ushbu uch qismning har biri uchun tezkor aylanish markazi aniqlanishi mumkin.

Birinchi havola P₁ -A ni hisobga olgan holda: ushbu havolaning barcha nuqtalari, shu jumladan A nuqtasi, P₁ nuqtasi atrofida aylanadi. P₁ berilgan tekislikda harakat qilmaydigan yagona nuqta boʻlgani uchun uni ushbu havolaning tezkor aylanish markazi deb atash mumkin. A nuqtasi, P₁ dan P₁ -A masofasida, V_A vektori bilan koʻrsatilgandek, P₁ -A havolasiga perpendikulyar yoʻnalishda dumaloq harakatda harakat qiladi.

Xuddi shu narsa P₂ -B havolasi uchun ham amal qiladi: P₂ nuqtasi bu havola uchun lahzali aylanish markazidir va B nuqtasi V_B vektorida koʻrsatilgan yoʻnalishda harakat qiladi.

Bogʻlanishning uchinchi elementi — BAC jismining lahzali aylanish markazini aniqlash uchun ikkita A va B nuqtalari qoʻllanadi, chunki uning harakatlanish xususiyatlari P₁ -A va P₂ -B bogʻlanishlari haqidagi maʼlumotlardan kelib chiqqan holda maʼlum.

A nuqtasi tezligining yoʻnalishi V_A vektori bilan koʻrsatilgan. Uning lahzali aylanish markazi ushbu vektorga perpendikulyar boʻlishi kerak (chunki V _A aylana boʻylab tangensial joylashgan). Talabni toʻldiradigan yagona chiziq P₁ -A havolasi bilan chiziqli chiziqdir. Bu chiziqning biron bir joyida BAC tanasi uchun lahzali aylanish markazi P nuqtasi mavjud.

A nuqtaga taalluqli boʻlgan narsa B nuqtasiga ham tegishli, shuning uchun bu lahzali aylanish markazi P vektorga perpendikulyar chiziqda joylashgan V_B, P₂ -B havolasi bilan kolinear chiziq. Shuning uchun, BAC tanasining P aylanish markazi P₁ -A va P₂ -B orqali oʻtadigan chiziqlar kesishgan nuqtadir.

Ushbu lahzali aylanish markazi P tanadagi barcha nuqtalar uchun markaz boʻlgani sababli, har qanday tasodifiy nuqta uchun, aytaylik, C nuqta uchun, harakat tezligi va yoʻnalishi aniqlanishi mumkin: P ni C ga ulang. C nuqtasining harakat yoʻnalishi perpendikulyar. bu aloqaga. Tezlik P nuqtagacha boʻlgan masofaga proportsionaldir.

Ushbu yondashuvni P₁ -A va P₂ -B bogʻlamlari oʻzlarining tezkor aylanish markazlari atrofida aylanadigan holda davom ettirib, tezkor aylanish markazi P uchun markazni aniqlash mumkin. Bundan C yoki BAC tanasining boshqa nuqtasi uchun harakat yoʻlini aniqlash mumkin.

Qoʻllash misollari

Biomexanik tadqiqotlarda yuqori va pastki ekstremitalardagi boʻgʻinlarning ishlashi uchun tezkor aylanish markazi kuzatiladi. Misol uchun, tahlil qilishda tizza , toʻpiq, yoki elka boʻgʻimlari . Bunday bilimlar tirsak yoki barmoq boʻgʻimlari kabi sunʼiy boʻgʻinlar va protezlarni ishlab chiqishda yordam beradi .

Otlarning boʻgʻinlarini oʻrganish: „…aylanishning lahzali markazlaridan aniqlangan tezlik vektorlari boʻgʻin yuzalarining bir-biriga siljishini koʻrsatdi“..

Suv boʻylab harakatlanadigan kemani aylantirish boʻyicha tadqiqotlar.

Avtomobilning tormozlash xususiyatlari tormoz pedali mexanizmining dizaynini oʻzgartirish orqali yaxshilanishi mumkin.

Velosiped, yoki avtomobil osmasini loyihalash.

Oldindan koʻrinishdagi ikki tomonlama osma osma kabi toʻrt barli bogʻlanishdagi bogʻlovchi rishtasi boʻlsa, tezlikka perpendikulyarlar erga ulangan rishtani bogʻlovchi boʻgʻinga birlashtiruvchi zvenolar boʻylab yotadi. Ushbu konstruktsiya suspenziyaning kinematik rulo markazini oʻrnatish uchun ishlatiladi.