Kinematika va uning asosiy kattaliklari

Kinematika klassik mexanikada ishlab chiqilgan fizikaning kichik sohasi boʻlib, nuqtalar, jismlar (ob’ektlar) va jismlar tizimlari (ob’ektlar guruhlari) harakatini ularning harakatiga olib keladigan kuchlarni hisobga olmasdan tasvirlaydi^[1]^[2]^[3]. Kinematika oʻrganish sohasi sifatida koʻpincha „harakat geometriyasi“ deb ataladi va vaqti-vaqti bilan matematikaning bir boʻlimi sifatida koʻriladi^[4]^[5]^[6]. Kinematik masala tizim geometriyasini tavsiflash va tizim ichidagi nuqtalarning pozitsiyasi, tezligi va/yoki tezlanishining har qanday maʼlum qiymatlarining boshlangʻich shartlarini eʼlon qilishdan boshlanadi. Keyin, geometriyadan argumentlar yordamida tizimning har qanday nomaʼlum qismlarining holati, tezligi va tezlanishi aniqlanishi mumkin. Kuchlarning jismlarga qanday taʼsir qilishini oʻrganish kinematikaga emas, kinetikaga kiradi.

Kinematika astrofizikada samoviy jismlarning harakatini va bunday jismlarning toʻplamlarini tasvirlash uchun ishlatiladi. Mashinasozlik, robototexnika va biomexanikada kinematika dvigatel, robot qoʻli yoki inson skeleti kabi birlashtirilgan qismlardan (koʻp boʻgʻinli tizimlar) tashkil topgan tizimlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi^[7].

Qattiq transformatsiyalar deb ham ataladigan geometrik oʻzgarishlar mexanik tizimdagi komponentlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi, bu harakat tenglamalarini chiqarishni soddalashtiradi. Ular, shuningdek, dinamik tahlil uchun markaziy hisoblanadi.

Kinematik tahlil — bu harakatni tasvirlash uchun ishlatiladigan kinematik miqdorlarni oʻlchash jarayoni. Masalan, muhandislikda kinematik tahlil maʼlum bir mexanizm uchun harakat oraligʻini topish uchun ishlatilishi mumkin va teskari yoʻnalishda ishlaganda, kerakli harakat diapazoni uchun mexanizmni loyihalash uchun kinematik sintezdan foydalanish mumkin^[8]. Bundan tashqari, kinematika mexanik tizim yoki mexanizmning mexanik ustunligini oʻrganish uchun algebraik geometriyani qoʻllaydi.

Terminning etimologiyasi

Kinematik atamasi AM Amperning^[9] cinematique filmining inglizcha versiyasi boʻlib, u yunoncha κίνημα dan yaratgan. kinema („harakat, harakat“), oʻzi κινεῖν dan olingan kinein („harakat qilish“)^[10]^[11].

Kinematik va cinématique fransuzcha cinéma soʻzi bilan bogʻliq, lekin ikkalasi ham undan toʻgʻridan-toʻgʻri olingan emas. Biroq, ular bir xil ildiz soʻziga ega, chunki cinema cinematographe soʻzining qisqartirilgan shakli „kinofilm proyektori va kamera“ dan, yana yunoncha harakat soʻzidan va yunoncha γρᾰ́φω — grapho („yozish“) soʻzidan kelib chiqqan.

Aylanmaydigan sanoq sistemasidagi zarracha traektoriyasining kinematikasi

Klassik zarrachaning kinematik kattaliklari: massasi — m, holati — r, tezligi — v, tezlanishi — a .

Zarrachalar kinematikasi zarrachalar harakatini oʻrganuvchi fandir. Zarrachaning pozitsiyasi koordinata ramkasining boshidan zarrachagacha boʻlgan koordinata vektori sifatida aniqlanadi. Masalan, uyingizdan 50 m janubdagi minorani koʻrib chiqing, koordinata markazi uyingizning markazida joylashganki, sharq x oʻqi yoʻnalishida va shimol y oʻqi yoʻnalishida boʻlsa, minora poydevoriga koordinata vektori r = (0 m, −50 m, 0 m) ga teng. Agar minora 50 m balandlikda boʻlsa va bu balandlik z oʻqi boʻylab oʻlchanadi, keyin minora tepasiga koordinata vektori r = (0 m, −50 m, 50 m).

Eng umumiy holatda, zarrachaning oʻrnini aniqlash uchun uch oʻlchovli koordinatalar tizimi qoʻllanadi. Biroq, agar zarracha tekislik ichida harakatlanishi cheklangan boʻlsa, ikki oʻlchovli koordinatalar tizimi yetarli. Fizikadagi barcha kuzatishlar mos yozuvlar tizimiga nisbatan tavsiflanmagan holda toʻliq emas.

Zarrachaning joylashuv vektori mos yozuvlar ramkasining kelib chiqishidan zarrachaga chizilgan vektordir . U nuqtaning boshlangʻich nuqtasidan uzoqligini ham, uning yoʻnalishini ham ifodalaydi. Uch oʻlchovda, pozitsiya vektori ${\bf {r}}$ sifatida ifodalash mumkin:

$\mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }},$

bu yerda $x$ , $y$ , va $z$ Dekart koordinatalari va ${\hat {\mathbf {i} }}$ , ${\hat {\mathbf {j} }}$ va ${\hat {\mathbf {k} }}$ boʻylab birlik vektorlardir $x$ , $y$ , va $z$ mos ravishda koordinata oʻqlari. Joylashuv vektorining kattaligi $\left|\mathbf {r} \right|$ nuqta orasidagi masofani beradi $\mathbf {r}$ va kelib chiqishi.

$|\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Pozitsiya vektorining yoʻnalish kosinuslari yoʻnalishning miqdoriy oʻlchovini taʼminlaydi. Umuman olganda, ob’ektning joylashuv vektori mos yozuvlar tizimiga bogʻliq boʻladi; turli ramkalar pozitsiya vektori uchun turli qiymatlarga olib keladi.

Zarrachaning traektoriyasi vaqtning vektor funktsiyasidir, $\mathbf {r} (t)$ tomonidan berilgan, harakatlanuvchi zarracha tomonidan kuzatilgan egri chiziqni belgilaydi:

$\mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {i} }}+y(t){\hat {\mathbf {j} }}+z(t){\hat {\mathbf {k} }},$

bu yerda $x(t)$ , $y(t)$ , va $z(t)$ zarracha joylashuvining har bir koordinatasini vaqt funksiyasi sifatida tasvirlangan.

Bosib oʻtgan masofa har doim siljishdan katta yoki teng.

Tezlik

Zarrachaning tezligi vektor kattalik boʻlib, u zarracha harakatining kattaligi bilan bir qatorda yoʻnalishini ham tavsiflaydi. Matematik jihatdan nuqtaning pozitsiya vektorining vaqtga nisbatan oʻzgarish tezligi nuqta tezligidir. Zarrachaning ikkita pozitsiyasi farqini vaqt oraligʻiga boʻlish natijasida hosil boʻlgan nisbatni koʻrib chiqing. Bu nisbat oʻsha vaqt oraligʻidagi oʻrtacha tezlik deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi:

$\mathbf {v} _{\rm {avg}}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}\ ,$

bu yerda $\Delta \mathbf {r}$ vaqt oraligʻidagi pozitsiya vektorining oʻzgarishi $\Delta t$ . Vaqt oraligʻi chegarasida $\Delta t$ nolga yaqinlashadi, oʻrtacha tezlik pozitsiya vektorining vaqt hosilasi sifatida belgilangan oniy tezlikka yaqinlashadi.

$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}={\dot {\mathbf {r} }}={\dot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }},$

Bu yerda nuqta vaqtga nisbatan hosilani bildiradi (masalan ${\dot {x}}={\text{d}}x/{\text{d}}t$ ). Shunday qilib, zarrachaning tezligi uning pozitsiyasini oʻzgartirishning vaqt tezligidir. Bundan tashqari, bu tezlik zarrachaning yoʻli boʻylab har bir pozitsiyada traektoriyasiga tegib turadi. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yoʻnalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yoʻnalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezligi uning tezligining kattaligidir. Bu skalyar miqdor:

$v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},$

bu yerda $s$ zarrachaning traektoriyasi boʻylab oʻlchanadigan yoy uzunligi. Bu yoy uzunligi zarracha harakat qilganda har doim ortib borishi kerak. Demak, ${\text{d}}s/{\text{d}}t$ manfiy emas, bu tezlik ham manfiy emasligini bildiradi.

Tezlanish

Tezlik vektori kattalik va yoʻnalish boʻyicha yoki bir vaqtning oʻzida ikkalasini ham oʻzgartirishi mumkin. Demak, tezlanish tezlik vektori kattaligining oʻzgarish tezligini ham, bu vektor yoʻnalishini oʻzgartirish tezligini ham hisobga oladi. Tezlikni aniqlash uchun zarrachaning pozitsiyasiga nisbatan qoʻllanadigan xuddi shunday fikrni tezlanishni aniqlash uchun tezlikka ham qoʻllash mumkin. Zarrachaning tezlashishi — bu tezlik vektorining oʻzgarish tezligi bilan aniqlangan vektor. Zarrachaning vaqt oraligʻidagi oʻrtacha tezlashishi nisbat sifatida aniqlanadi.

${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}\ ,$

Bu yerda Δv tezlik vektoridagi farq va Δt vaqt oraligʻi.

Zarrachaning tezlashishi vaqt oraligʻi nolga yaqinlashganda oʻrtacha tezlanishning chegarasi boʻlib, vaqt boʻyicha hosilasidir

$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}={\dot {v}}_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+{\dot {v}}_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+{\dot {v}}_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

yoki,

$\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {x}}{\hat {\mathbf {i} }}+{\ddot {y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}$

Shunday qilib, tezlanish tezlik vektorining birinchi hosilasi va bu zarrachaning pozitsiya vektorining ikkinchi hosilasidir. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yoʻnalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yoʻnalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezlanishining kattaligi — kattaligi | a | uning tezlanish vektori. Bu skalyar miqdor quyidagicha:

$|\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.$

Manbalar

↑ Edmund Taylor Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, 1904. ISBN 0-521-35883-3.
↑ Joseph Stiles Beggs. Kinematics. Taylor & Francis, 1983 — 1-bet. ISBN 0-89116-355-7.
↑ Thomas Wallace Wright. Elements of Mechanics Including Kinematics, Kinetics and Statics. E and FN Spon, 1896.
↑ Russell C. Hibbeler „Kinematics and kinetics of a particle“, . Engineering Mechanics: Dynamics, 12th, Prentice Hall, 2009 — 298-bet. ISBN 978-0-13-607791-6.
↑ Ahmed A. Shabana „Reference kinematics“, . Dynamics of Multibody Systems, 2nd, Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-54411-5.
↑ P. P. Teodorescu „Kinematics“, . Mechanical Systems, Classical Models: Particle Mechanics. Springer, 2007 — 287-bet. ISBN 978-1-4020-5441-9. .
↑ A. Biewener. Animal Locomotion. Oxford University Press, 2003. ISBN 019850022X.
↑ J. M. McCarthy and G. S. Soh, 2010, Geometric Design of Linkages, Springer, New York.
↑ Ampère, André-Marie. Essai sur la Philosophie des Sciences. Chez Bachelier, 1834.
↑ Merz, John. A History of European Thought in the Nineteenth Century. Blackwood, London, 1903 — 5-bet.
↑ O. Bottema & B. Roth. Theoretical Kinematics. Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66346-9.

Adabiyotlar

Koetsier, Teun (1994), „§8.3 Kinematics“, in Grattan-Guinness, Ivor (muh.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 2-jild, Routledge, 994–1001-bet, ISBN 0-415-09239-6
Moon, Francis C.. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer, 2007. ISBN 978-1-4020-5598-0.
Eduard Study (1913) D. H. Delphenich translator, „Foundations and goals of analytical kinematics“.

Havolalar

Java applet of 1D kinematics
Physclips: Mechanics with animations and video clips from the University of New South Wales.
Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL), featuring movies and photos of hundreds of working models of mechanical systems at Cornell University and an e-book library of classic texts on mechanical design and engineering.
Micro-Inch Positioning with Kinematic Components

[Whittaker-1] Edmund Taylor Whittaker. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies. Cambridge University Press, 1904. ISBN 0-521-35883-3.

[Beggs-2] Joseph Stiles Beggs. Kinematics. Taylor & Francis, 1983 — 1-bet. ISBN 0-89116-355-7.

[Wright-3] Thomas Wallace Wright. Elements of Mechanics Including Kinematics, Kinetics and Statics. E and FN Spon, 1896.

[4] Russell C. Hibbeler „Kinematics and kinetics of a particle“, . Engineering Mechanics: Dynamics, 12th, Prentice Hall, 2009 — 298-bet. ISBN 978-0-13-607791-6.

[5] Ahmed A. Shabana „Reference kinematics“, . Dynamics of Multibody Systems, 2nd, Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-54411-5.

[6] P. P. Teodorescu „Kinematics“, . Mechanical Systems, Classical Models: Particle Mechanics. Springer, 2007 — 287-bet. ISBN 978-1-4020-5441-9. .

[Biewener-7] A. Biewener. Animal Locomotion. Oxford University Press, 2003. ISBN 019850022X.

[McCarthy2010-8] J. M. McCarthy and G. S. Soh, 2010, Geometric Design of Linkages, Springer, New York.

[9] Ampère, André-Marie. Essai sur la Philosophie des Sciences. Chez Bachelier, 1834.

[10] Merz, John. A History of European Thought in the Nineteenth Century. Blackwood, London, 1903 — 5-bet.

[Bottema-11] O. Bottema & B. Roth. Theoretical Kinematics. Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66346-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]