Gamma-funksiya

Gamma-funksiya — matematik funksiya, belgilanishi $\Gamma (z)$. Leonard Eiler tomonidan kiritilgan.

Haqiqiy oʻzgaruvchili gamma-funksiya grafigi

Gamma-funksiya fanda juda keng qoʻllaniladigan funksiya hisoblanadi. Uning qoʻllanilish sohalari — matematik tahlil, ehtimollar nazariyasi, komninatorika, statistika, atom fizikasi, astrofizika, gidrodinamika, seysmologiya, iqtisodiyot va boshqalar.

Xususan, gamma-funksiya argumentning haqiqiy va murakkab qiymatlari toʻplamlarida faktorial tushunchasini umumlashtirish uchun ishlatiladi.

Taʼrifi

Integral boʻyicha

Agar $z$ kompleks sonning haqiqiy qismi musbat boʻlsa, u holda gamma-funksiya absolyut yaqinlashuvchi integral nuqtai nazaridan aniqlanadi:

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0$

Legendre tomonidan kiritilgan ushbu taʼrif, Eiler tomonidan 1730-yilda gamma-funksiyaga berilgan taʼrifdan kelib chiqqan, deyishimiz mumkin:

$\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx$

$x=e^{-t}$ oʻzgaruvchi kiritilgani tufayli, hozirgi kunda aynan Legendre taʼrifi — gamma-funksiyaning klassik taʼrifi deb tan olinadi. Ushbu integralni boʻlaklarga boʻlib integrallasak, $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ ekanligini koʻrishmiz mumkin.