Green funksiyasi

Green funksiyasi — bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar, shuningdek chegaraviy masalalarni yechish uchun ishlatiladigan funksiya. Ingliz matematigi Jorj Grin sharafiga shunday nomlangan (inglizcha George Green).

Green funksiyasi elektrostatikada — Poisson tenglamasini yechishda; kondensirlangan holatlar fizikasida — diffuziya tenglamasini (va mos holda issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasini) yechishda juda qoʻl keladi. Bu sohalarda Green funksiyasining ahamiyati, xuddi kvant mexanikasidagi Schredinger tenglamasi kabidir. Green funksiyasi turli chegaraviy shartlarda statsionar (vaqtga bogʻliq boʻlmagan) va nostatsionar (vaqtga bogʻliq boʻlgan) yechimlarni topishga yordam beradi.

Green funksiyasining taʼrifi va qoʻllanilishi

$R^{n}$ Yevklid fazosida olingan ixtiyoriy $s$ nuqtadagi umumlashgan funksiyalarga taʼsir qiluvchi $L=L(x)$ chiziqli operatorning Green funksiyasi $G(x,s)$ — bu

$L~G(x,s)=\delta (x-s)$

tenglamaning ixtiyoriy yechimidir. Bu yerda $\delta$ — delta-funksiya. Green funksiyasining ushbu xossasidan quyidagi koʻrinishdagi differensial tenglamalarni yechishda foydalanish mumkin:

$L~u(x)=f(x)$

Green funksiyasi — $L$ ga teskari operator. Shu sababli, baʼzida uni $L^{-1}$ koʻrinishida ham tasvirlanadi.

Agar $L$ operatorning yadrosi notrivial boʻlsa, demak, Green funksiyasi yagona emas. Biroq amaliyotda simmetriya qonunlaridan foydalanish hamda chegaraviy shartlarni hisobga olish orqali Green funksiyasining tayin bir koʻrinishini olish mumkin. Umuman olganda, Green funkiyasi oddiy funksiya emas, balki umumlashgan funksiya. Yaʼni u oddiy funksiyalarda boʻlmaydigan xossalar, masalan, delta-funksiya yoki uning hosilalari kabi xususiyatlarga ega boʻlishi mumkin.

Green funksiyasi — toʻlqin tenglamasi, diffuziya tenglamasi va kvantomexanik tenglamalarni yechishda ham juda foydali. Chunki u holatlar zichligi bilan bogʻliq. Fizikada Green funksiyasi, odatda, qarama-qarshi ishora bilan beriladi:

$L~G(x,s)=-\delta (x-s)$

Bunday koʻrinish, uning xossalariga va qiymatiga hech qanday taʼsir qilmaydi.

Agar $L$ operator translyatsion invariant boʻlsa, yaʼni $L$ operator $x$ ga nisbatan doimiy koeffitsientlarga ega boʻlsa, Green funksiyasini konvolyutsion operator koʻrinishida tanlash mumkin:

$G(x,s)=G(x-s)$

Bu holatda u chiziqli statsionar sistemalar nazariyasidagi impulsli oʻtish funksiyasiga toʻgʻri keladi.

Eslatma

Baʼzida bir jinsli boʻlmagan tenglamaning oʻng tomonida biron doimiy koeffitsient qatnashib qolishi mumkin. Yaʼni $Lf=\kappa h$

Bunday holatda Green funksiyasi $g(x,s)$ham, ushbu koeffitsientni hisobga olgan holda aniqlanadi, yaʼni quyidagi tenglamaning yechimi boʻladi:

$Lf_{1}(x)=\kappa \,\delta (x-s)$

U holda differensial tenglamaning yechimi :

$f(x)=\int {\kappa \,h(s)\,g(x,s)\,ds}$

koʻrinishida boʻladi.

Shturm-Liouville operatorining Green funksiyasi (bir oʻlchamli hol)

Masalaning qoʻyilishi

Aytaylik, $L$ — chiziqli differensial koʻrinishdagi Shturm-Liouville operatori boʻlsin:

$L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]-q(x)$

hamda $D$ — chegaraviy holatlar operatori boʻlsin:

$Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatrix}}$

Green teoremasi

$f(x)$ funksiya — $[0,l]$ oraliqda uzluksiz hamda, chegaraviy shartlar quyidagicha berilgan boʻlsin:

${\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0\end{matrix}}$

Masala muntazam, yaʼni faqatgina bir jinsli masalaning trivial yechimlari mavjud boʻlsin. U holda

${\begin{matrix}Lu=f,\\Du=0,\end{matrix}}$

shartlarni qanoatlantiradigan yagona $u(x)$ yechim mavjud va bu yechimni

$u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds$

ifoda orqali topish mumkin. Bu yerda $g(x)$ — Green funksiyasi. Ushbu Green funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. $g(x)$ funksiya $x$ va $s$ bo`yicha uzluksiz
2. $x\neq s$ bo`lganda, $Lg(x,\;s)=0$
3. $s\neq 0$ bo`lganda, $Dg(x,\;s)=0$
4. Hosilasi $g^{\prime }(s_{+0},\;s)-g^{\prime }(s_{-0},\;s)=1/p(s)$
5. Simmetrik $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Yana qarang

• Heaviside funksiyasi
• Delta-funksiya
• Gamma-funksiya