Halqa nazaryasi

Halqa nazariyasida mavhum algebraning bir boʻlimi, koeffitsient halqasi, farqli halqa^[1] yoki qoldiq sinf halqasi sifatida ham yaxshi tanilgan boʻlib, guruh nazariyasidagi boʻlim guruhiga va chiziqli algebradagi boʻlinma fazosiga juda oʻxshash konstruktsiyalardan biri^[2]^[3]. U universal algebraning umumiy sozlamasidan koʻrinib turibdiki, bu qismning oʻziga xos namunasi hisoblanadi. $R$ halqasidan va $R$ da ikki tomonlama ideal $I$ dan boshlab, yangi halqa, qism halqasi $R / I$ kelib chiqadi, uning elementlari $R$ dagi $I$ ning kosetlari boʻlib, maxsus $+$ va -operatsiyalariga bogʻliq boʻladi. (Faqat „/“ kasr qiyshiq chizigʻi boʻlim halqasi belgisida ishlatiladi, gorizontal kasr satri boʻlmaydi.)

Qism halqalari integral sohaning „boʻlim maydoni“ yoki kasrlar maydoni deb ataladigan misollardan, shuningdek lokalizatsiya natijasida olingan umumiy „boʻlimlar halqalari“ dan ham juda katta farq qiladi.

Rasmiy qism halqasining yasalishi

Halqa berilgan $R$ va ikki tomonlama ideal $I$ ichida $R$ , ekvivalentlik munosabatini belgilashimiz ham mumkin boʻladi $\sim$ yoqilgan $R$ quyida bayon qilsak boʻladi:

a\sim b

agar va faqat agar

a-b

ichida joylashgan

I

ga teng.

Ideal xususiyatlardan foydalanib, buni tekshirish qiyin emas $\sim$ muvofiqlik munosabatidir hisoblanadi. Boʻlgan holatda $a\sim b$ , biz shuni aytamiz $a$ va $b$ mos modullardir $I$ hisoblanadi. Elementning ekvivalentlik klassi $a$ ichida $R$ tomonidan beriladi va u quyidagicha boʻladi

[a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}

.

Bu ekvivalentlik sinfi baʼzan shunday yoziladi $a{\bmod {I}}$ va „qoldiq sinfi“ deb ham ataladi $a$ modul $I$ ga teng ".

Bunday barcha ekvivalentlik sinflari toʻplami bilan belgilanadi $R/I$ ; u halqaga, faktor halqasiga yoki koeffitsient halqasiga aylanishi ham $R$ modul $I$ , agar biri aniqlasa qolganlari quyidagicha topiladi

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ;
$(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

(Bu yerda ushbu taʼriflar aniq belgilanganligini tekshirish kerak boʻladi. Koset va quotient guruhini solishtiramiz) ning nol elementi $R/I$ hisoblanadi va ${\bar {0}}=(0+I)=I$ multiplikativ oʻziga xoslik ${\bar {1}}=(1+I)$ ga teng boʻladi .

Xarita $p$ dan $R$ uchun $R/I$ tomonidan belgilanadi va quyidagi qiymatlarda $p(a)=a+I$ suryektiv halqa homomorfizmi hisoblanadi, baʼzan tabiiy qism xaritasi yoki kanonik homomorfizm deb ham ataladi.

Misollar

R / {0 } qism halqasi tabiiy ravishda R ga izomorf, R / R esa nol halqa {0}, chunki bizning taʼrifimiz boʻyicha R dagi har qanday r uchun bizda [r] = r + "R" := {r + b : b ∈ "R" mavjud.[r] = r + "R" := {r + b : b ∈ "R" }}, bu R ning oʻziga teng. Bu ideal I qanchalik katta boʻlsa, R / I halqasining kichikligi haqidagi asosiy qoidaga mos keladi. Agar I R ning toʻgʻri ideali boʻlsa, yaʼni I ≠ R boʻlsa, u holda R / I nol halqa emas.
Z butun sonlar halqasini va 2 Z bilan belgilangan juft sonlar idealini koʻrib chiqaylik. U holda Z / 2Z qism halqasi faqat ikkita elementga ega boʻlib, juft sonlardan iborat koset 0+2Z va toq sonlardan tashkil topgan 1+2Z kosetasi; taʼrifni qoʻllash, , bu yerda 2 Z juft sonlarning ideali. Ikki element F ₂ boʻlgan chekli maydon uchun tabiiy ravishda izomorf boʻladi. Intuitiv ravishda: agar siz barcha juft raqamlarni 0 deb hisoblasangiz, har bir butun son yo 0 (agar u juft boʻlsa) yoki 1 (agar u toq boʻlsa va shuning uchun juft sondan 1 ga farq qilsa) boʻladi. Modulli arifmetika asosan Z / nZ (n ta elementdan iborat) halqadagi arifmetikdir.
Endi X oʻzgaruvchisidagi koʻphadlar halqasini real koeffitsientlar, R [ X ] va koʻphadning barcha koʻpaytmalaridan tashkil topgan ideal koʻrib chiqaylik. Qism halqasi murakkab sonlar maydoniga tabiiy ravishda izomorf boʻlib, sinf [ X ] xayoliy birlik i rolini oʻynaydi. Buning sababi shundaki, biz „majbur qildik“, yaʼni , i ning aniqlovchi xususiyati.
Oldingi misolni umumlashtiradigan boʻlsak, koʻpincha dala kengaytmalarini qurish uchun qism halqalari qoʻllanadi. Faraz qilaylik, K qandaydir maydon, f esa K [ X ] dagi qaytarilmas koʻphad boʻlsin. U holda L = K[X] / (f) K ga nisbatan minimal polinomi f boʻlgan maydon boʻlib, u K elementi bilan bir qatorda x = X + (f) elementini ham oʻz ichiga oladi.
Oldingi misolning muhim misollaridan biri cheklangan maydonlarni qurishdir. Masalan, uchta elementli F₃ = Z / 3Z maydonini koʻrib chiqing. koʻphad F ₃ ga nisbatan qaytarilmaydi (chunki uning ildizi yoʻq) va biz F₃[X] / (f) boʻlak halqasini qurishimiz mumkin. Bu F ₉ bilan belgilangan 3² = 9 elementdan iborat maydon. Boshqa cheklangan maydonlar ham xuddi shunday tarzda tuzilishi mumkin.
Algebraik navlarning koordinata halqalari algebraik geometriyada boʻlinish halqalarining muhim namunasidir. Oddiy holat sifatida, haqiqiy V = {(x, y) | x² = y³ xilma-xilligini koʻrib chiqing V = {(x, y) | x² = y³ } haqiqiy R ² tekislikning kichik toʻplami sifatida. V da aniqlangan real qiymatli polinom funksiyalar halqasini koordinatali halqa bilan aniqlash mumkin va bu V ning koordinatali halqasidir. Endi V navi uning koordinatali halqasini oʻrganish orqali tekshiriladi.
Faraz qilaylik, M C ^∞ – manifold, p esa M nuqtasi boʻlsin. M da aniqlangan barcha C ^∞ -funktsiyalarning R = C^∞(M) halqasini koʻrib chiqaylik va u p ning baʼzi U qoʻshnilarida bir xil nolga teng boʻlgan f funktsiyalardan iborat R da I ideal boʻlsin (bu yerda U f ga bogʻliq boʻlishi mumkin) . Keyin koʻrsatkich halqasi R / I da M ustida C ^∞ -funktsiyalarining mikroblari halqasidir.
Giperreal maydonning chekli elementlarining F halqasini koʻrib chiqaylik * R . U standart realdan cheksiz kichik miqdor yoki ekvivalent bilan farq qiluvchi barcha giperreal sonlardan iborat: −n < x < n standart tamsayı n mavjud boʻlgan barcha giperreal sonlardan x . * R dagi barcha cheksiz kichik sonlarning I toʻplami, 0 bilan birga, F da ideal va F / I boʻlinma halqasi R haqiqiy raqamlariga izomorfikdir. Izomorfizm F ning har bir x elementiga x ning standart qismini, yaʼni x dan cheksiz kichik bilan farq qiluvchi yagona haqiqiy sonni bogʻlash orqali induktsiya qilinadi. Haqiqatdan ham xuddi shunday natijaga erishiladi, yaʼni R, agar chekli giperratsionallarning F halqasidan boshlansa (yaʼni, giperintegerlar juftligi nisbati), haqiqiy sonlar qurilishiga qarang.

Murakkab tekisliklarning oʻzgarishi

R[X] / (X), R[X] / (X + 1) va R[X] / (X − 1) boʻlaklari R uchun izomorf boʻlib ularga quyidagicha avvaliga unchalik qiziqish uygʻotmaydi. Lekin shuni yodda tutingki, geometrik algebrada ikkilik sonlar tekisligi deb ham atalishi mumkin. U R [X] elementini X2 ga qisqartirgandan soʻng „qoldiqlar“ sifatida faqat chiziqli yechimlari binomiallardan iborat ham boʻladi. Murakkab tekislikning bu oʻzgarishi algebrada haqiqiy chiziq va nilpotent boʻlganda subalgebra sifatida paydo boʻladi va quyidagicha boʻlishi ham mumkin.

Bundan tashqari, halqa koeffitsienti R[X] / (X + 1) va R[X] / (X − 1) ga boʻlinadi, shuning uchun bu halqa koʻpincha toʻgʻridan-toʻgʻri koʻrinadi. yigʻindisi R ⊕ R Shunga qaramay, z = x + y j kompleks sonlarning oʻzgarishini j tomonidan ning ildizi sifatida taklif qilinadi, i esa ning ildizi sifatida. Ajratilgan murakkab sonlarning bu tekisligi algebraning oʻziga xosligi noldan birlik masofada joylashgan 2-fazo uchun asosini taʼminlash orqali R ⊕ R toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini normallashtiradi. Shu asosda birlik giperbolani oddiy kompleks tekislikning birlik doirasi bilan solishtirish mumkin.

Kvarternionlar va variatsiyalar

Faraz qilaylik, X va Y ikkita, oʻzgarmas, noaniq va erkin algebrasini hosil qiladi. Keyin Gamiltonning 1843 yildagi kvaternionlari sifatida quyish mumkin

\mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).

Agar oʻrniga qoʻyilgan boʻlsa, u holda boʻlingan kvaternionlar halqasi olinadi. Anti-kommutativ xususiyat YX = −XY XY oʻz kvadratiga ega ekanligini anglatadi

(XY)(XY) = X (YX) Y = − X (XY) Y = −(XX)(YY) = −(−1)(+1) = +1.

Ikkala kvadratik binomida plyus oʻrniga minus qoʻyish ham boʻlinish ham kvaternionlariga olib kelishi mumkin.

Uchta turdagi biquaternionlarni erkin algebra yordamida uchta noaniq R ⟨X,Y,Z ⟩ bilan va tegishli ideallarni yaratish orqali ham boʻlaklar sifatida yozishimiz mumkin boʻladi.

Xususiyatlari

Shubhasiz, agar R kommutativ halqa boʻlsa, R / I ham shunday boʻladi; ammo teskari umuman olganda, toʻgʻri kelmaydi.

Tabiiy boʻlim xaritasi p oʻzining yadrosi sifatida I ga ega hisoblanadi; har bir halqa gomomorfizmining yadrosi ikki tomonlama ideal boʻlganligi uchun, ikki tomonlama ideallar aynan halqa gomomorfizmlarining yadrosi ekanligini aytishimiz ham mumkin.

Halqa gomomorfizmlari, yadrolari va qism halqalari oʻrtasidagi yaqin munosabatni quyidagicha umumlashtirish mumkin boʻladi: R / I da aniqlangan halqa gomomorfizmlari I da yoʻqolib ketadigan (yaʼni nolga teng boʻladigan) R da aniqlangan halqa gomomorfizmlari bilan mohiyatan bir xildir boʻladi. Aniqroq aytganda, R da ikki tomonlama ideal I va halqali omomorfizm f : R → S berilgan boʻlib f : R → S yadrosida I boʻlsa, aniq bitta halqali gomomorfizmi g : R / I → S mavjuddir.g : R / I → S gp = f bilan (bu yerda p – tabiiy koʻrsatkichlar xaritasi). Bu yerda g xaritasi R dagi barcha a uchun aniq belgilangan g([a]) = f(a) qoidasi bilan berilgan. Haqiqatan ham, bu universal xususiyatdan boʻlinish halqalari va ularning tabiiy boʻlim xaritalarini aniqlash uchun foydalanish mumkin boʻladi.

Yuqorida aytilganlarning natijasi boʻlaroq, asosiy bayonot olinadi va har bir halqa gomomorfizmi f : R → S qism halqasi R / ker(f) va tasvir im(f) oʻrtasida halqa izomorfizmini keltirib chiqarishi mumkin. (Shuningdek qarang: gomomorfizmlar haqidagi asosiy teorema .)

R va R / I ideallari bir-biri bilan chambarchas bogʻliq hisoblanadi va tabiiy koeffitsientlar xaritasi I ni oʻz ichiga olgan R ning ikki tomonlama ideallari va R / I ning ikki tomonlama ideallari oʻrtasidagi farqni taʼminlaydi (chap va oʻng uchun ham xuddi shunday ideallar mavjud). Ikki tomonlama ideal oʻrtasidagi bu munosabat mos keladigan boʻlaadiqism halqalari orasidagi munosabatga taalluqlidir hisoblanadi: agar M R dagi ikki tomonlama ideal boʻlsa, I ni oʻz ichiga oladi va biz quyidagi R / I da mos keladigan ideal uchun M / I yozamiz (yaʼni. M / I = p(M)), qism halqalari R / M va (R / I) / (M / I) tabiiy ravishda (yaxshi belgilangan hisoblanadi!) a + M ↦ (a + I) + M / I xaritalash orqali izomorfdir boʻladi. a + M ↦ (a + I) + M / I

Quyidagi faktlar kommutativ algebra va algebraik geometriyada foydalidir kommutativ uchun R / I maydon, agar I maksimal ideal boʻlsa, R / I esa integral sohadir boʻladi, agar I boʻlsa asosiy ideal boʻladi. Bir qator shunga oʻxshash bayonotlar ideal I ning xossalari R / I halqasining xususiyatlari bilan bogʻliq hisoblanadi.

Xitoy qoldiqlari teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar ideal I juftlik koʻpaytma ideallarning biror bir kesishishi (yoki ekvivalenti, mahsuloti) boʻlsa, I ₁, . . ., I _k, keyin R / I qism halqasi ham R / I_n, n = 1, ..., k koʻpaytmasiga izomorf hisoblanadi boʻladi.

Halqa ustidagi algebralar uchun qoidalar

Kommutativ halqa ustidagi assotsiativ algebra A R – bu uzuk hisoblanadi. Agar men ideal boʻlsam A (R -koʻpaytirish ostida yopiq boʻladi), keyin A / I algebra tuzilishini qabul qilib oladi. R va qism algebrasi .

Shuningdek

Bogʻlangan darajali uzuk
Qoldiq maydoni
Goldie teoremasi
Quotient moduli

Havolalar

↑ Jacobson, Nathan. Structure of Rings, revised, American Mathematical Soc., 1984. ISBN 0-821-87470-5.
↑ Dummit, David S.. Abstract Algebra, 3rd, John Wiley & Sons, 2004. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2002. ISBN 0-387-95385-X.

Qoʻshimcha havolalar

F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, DAR Wallace (1982) tomonidan tarjima qilingan Modullar va uzuklar, Akademik matbuot, 33-bet.
Neal H. McCoy (1948) Rings va ideallar, § 13 Qoldiq sinfi halqalari, 61-bet, Carus Matematik Monografiyalari № 8, Amerika Matematik Assotsiatsiyasi .
0-387-98541-7
BL van der Waerden (1970) Algebra, Fred Blum va Jon R Schulenberger tomonidan tarjima qilingan, Frederik Ungar nashriyoti, Nyu-York. 3.5-bobga qarang, „Ideallar. Qoldiq sinfi halqalari“, 47-51-betlar.

Havolalar

Ideals and factor rings (Wayback Machine saytida 2020-06-30 sanasida arxivlangan) from John Beachy’s Abstract Algebra Online

[1] Jacobson, Nathan. Structure of Rings, revised, American Mathematical Soc., 1984. ISBN 0-821-87470-5.

[2] Dummit, David S.. Abstract Algebra, 3rd, John Wiley & Sons, 2004. ISBN 0-471-43334-9.

[3] Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2002. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]

[3]