Heaviside funksiyasi

Heaviside funksiyasi (birlik pogʻonasimon funksiya, "pogʻonacha", Oliver Heaviside sharafiga shunday nomlangan) — qismiy uzluksiz funksiya boʻlib, argumentning manfiy qiymatlarida nolga, musbat qiymatlarida esa birga teng. Odatda, $x=0$ nuqtada bu funksiya aniqlanmagan, lekin uning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar oʻqining hamma sonlarini oʻz ichiga olishi uchun, bu nuqtada oldindan aniqlab olinadi. Umuman olganda esa, Heaviside funksiyasining nol nuqtada qanday qiymat qabul qilishi deyarli hech qanday ahamiyat kasb etmaydi. Shuning uchun Heaviside funksiyasining turli taʼriflaridan foydalanish mumkin, masalan:

Birlik Heaviside funksiyasi. x = 0 da funksiyaning qiymati 1 ga teng, deb olingan.

$\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$

Heaviside funksiyasini, Ayverson qavslari orqali juda qulay koʻrinishda yozish mumkin:

$\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,].$

Heaviside funksiyasi signallarni qayta ishlashda, maʼlum bir vaqt oraligʻida bir holatdan boshqa holatga oʻtgan signallarni aniqlashda foydalaniladi. Matematik statistikada esa, bu funksiya, empirik taqsimot funksiyasini yozishda ishlatiladi.

Heaviside funksiyasi Dirakning delta-funksiyasidan olingan integral hisoblanadi. Yaʼni, $\theta '=\delta$. Yoki buni quyidagicha koʻrinishda ham yozish mumkin:

$\theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!\delta (t)\,dt.$

Diskret koʻrinishi

Heaviside funksiyasini butun $n$ sonli argumentning funksiyasi koʻrinishida ham aniqlash mumkin:

$\theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}$

bu yerda $n$ — butun son.

Diskret birlik impuls:

$\delta [n]=\theta [n]-\theta [n-1].$

Yozishda

Koʻpincha birlik funksiyani integral koʻrinishda yozish qulay va foydali boʻladi:

$\theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }\,d\tau .$

θ(0)

Funksiyaning nol nuqtadagi qiymati $\theta (0)=0$, $\theta (0)=1/2$ yoki $\theta (0)=1$ kabi koʻrinishlardan biri orqali oldindan tanlab olinadi. Eng koʻp qoʻllaniladigan variant — $\theta (0)=1/2$, chunki, simmetriya qonunlariga binoan, birinchi tur uzilish nuqtasida funksiyaning qiymatini mos holda bir tomonlama chegaralarning oʻrta arifmetigi bilan aniqlash qulay, bundan tashqari, ushbu holda Heaviside funksiyasi $sgn(x)$ bilan bogʻlangan :

$\theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2}},&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}$

Nol nuqtadagi qiymatini funksiyada oshkor holda koʻrsatish ham mumkin:

$\theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}$

Fourier almashtirishi

Heaviside funksiyasidan olingan hosila — bu Dirakning delta-funksiyasidir. Demak, Delta-funksiyadan integral olsak, Heaviside funksiyasini beradi:

$\theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt$.

Shundan soʻng, Delta-funksiyaning integraliga Fourier almashtirishlarini qoʻllab, Heaviside funksiyasi uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

${\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),$

yaʼni

$\theta (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega )\right)e^{i\omega t}\,d\omega$

(yoyilmadagi nolinchi chastotaga toʻgʻri keluvchi ikkinchi had, Heaviside funksiyasining yuqoriga doimiy oʻsishini koʻrsatadi, bunday boʻlmaganda, toq funksiya hosil boʻlgan boʻlardi).

Yana qarang

• Green funksiyasi
• Delta-funksiya