Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllanadi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.

Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).

Idempotentlar va parchalanishlar

Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir^[1]. Haqiqatan ham, agar ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ , keyin, har biri uchun $i\in I$ , chiziqli endomorfizm $e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M$ tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir ( $e_{i}e_{j}=0$ uchun $i\neq j$ ) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:

1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}

endomorfizmlar sifatida (bu yerda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami $\{e_{i}\}_{i\in I}$ Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp $e_{i}(x)$ har biri uchun nolga teng $x\in M$ va $\sum e_{i}=1_{M}$ olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi $M_{i}$ tasvirlari boʻlish $e_{i}$ ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan $R$ , dekompozitsiya bor deylik

{}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}

$R$ ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda $I_{a}$ chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm ${}_{R}R\to {}_{R}R$ R elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, $I_{a}=Re_{a}$ qayerda $e_{a}$ ning idempotentlari hisoblanadi $\operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R$ ^[2] .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi R birligining parchalanishiga mos keladi: ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$ , bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa, $A$ chekli toʻplam boʻlishi kerak.

Masalan, $R=\operatorname {M} _{n}(D)$ , boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin ${}_{R}R$ n nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir $D^{n}$ , ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal^[3].

R halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

{}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}

ikki tomonlama ideallarga aylanadi $R_{i}$ ning R . Yuqoridagi kabi, $R_{i}=Re_{i}$ baʼzi ortogonal idempotentlar uchun $e_{i}$ shu kabi $\textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}$ . beri $R_{i}$ idealdir, $e_{i}R\subset R_{i}$ va hokazo $e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0$ uchun $i\neq j$ . Keyin, har bir i uchun,

e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.

Yaʼni, $e_{i}$ markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir^[4] .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri $R_{i}$ oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik $e_{i}$ va halqa sifatida R mahsulot halqasidir $R_{1}\times \cdots \times R_{n}.$

Masalan, yana oling $R=\operatorname {M} _{n}(D)$ . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

Parchalanish turlari

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:

Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
Ajralmaydigan parchalanish : parchalanmaydigan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar boʻlgan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (har bir x element uchun x yoki 1 — x birlik boʻlsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
Ketma-ket parchalanish : bir seriyali modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir boʻlsa, modul bir qatorli hisoblanadi^[5]) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish $\textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ Agar M ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi L uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi deyiladi. $J\subset I$ shu kabi

M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.

^[6].

Ikki parchalanish $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}$ bijection mavjud boʻlsa, ekvivalent deyiladi $\varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J$ har biri uchun shunday $i\in I$ , $M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}$ ^[6] .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi^[7].

Azumaya teoremasi

Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi^[8].Sunday parchalanish berilgan $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi $M_{i}$ mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi^[9].Bunday parchalanish berilgan, agar $M=N\oplus K$ , keyin

agar nol boʻlmasa, N ajralmaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindini oʻz ichiga oladi,
agar $N$ ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy^[10] va $K$ berilgan parchalanish bilan toʻldiriladi:
${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ va hokazo $M_{j}\simeq N$ baʼzilar uchun $j\in I$ ,
Har biriga $i\in I$ , toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar mavjud $N'$ ning $N$ va $K'$ ning $K$ shu kabi $M=M_{i}\oplus N'\oplus K'$ .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllanadi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$ , bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday $m=n$ va $M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}$ baʼzi almashtirish uchun $\sigma$ ning $\{1,\dots ,n\}$ . Aniqrogʻi, beri $N_{1}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ baʼzilar uchun $i_{1}$ . Keyin, beri $N_{2}$ ajralmas, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin $M_{i}$ ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

Element berilgan $x\in N$ , toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi mavjud $H$ ning $N$ va kichik toʻplam $J\subset I$ shu kabi $x\in H$ va ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ .

Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang $F\subset I$ shu kabi ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ . Keyin, yozish $M=N\oplus L$ , Azumaya teoremasi boʻyicha, $M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}$ baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan $N_{1},L_{1}$ ning $N,L$ va keyin, modul qonuniga koʻra, $N=H\oplus N_{1}$ bilan $H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N$ . Keyin, beri $L_{1}$ ning bevosita yig‘indisidir $L$ , yozishimiz mumkin $L=L_{1}\oplus L_{1}'$ undan keyin $\oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'$ , bu F chekli boʻlgani uchun, bu degani $H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}$ baʼzi J uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir $M_{i}$ hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): $N$ ga izomorfdir $\bigoplus _{j\in J}M_{j}$ baʼzi bir kichik toʻplam uchun $J\subset I$ ^[11] (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „ $M_{i}$ countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.

Halqaningning parchalanishi

Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

R — yarim oddiy halqa; yaʼni, ${}_{R}R$ yarim oddiy chap moduldir.
$R\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})$ qayerda $\operatorname {M} _{n}(D)$ n -by- n matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi $r,m_{1},\dots ,m_{r}$ R bilan belgilanadi (lekin $D_{i}$ s R bilan aniqlanmaydi).
R ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar ${\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ qayerda $I_{i}$ oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.

R\simeq \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})

har biri qaerda $\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$ boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin $D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})$ . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1. $\Leftrightarrow$ 3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

Yana qarang

Sof inʼektsion modul

Manbalar

↑ Anderson & Fuller, Corollary 6.19. and Corollary 6.20.
↑ Here, the endomorphism ring is thought of as acting from the right; if it acts from the left, this identification is for the opposite ring of R.
↑ Processi, Ch.6., § 1.3.
↑ Anderson & Fuller, Proposion 7.6.
↑ Anderson & Fuller, § 32.
↑ ^6,0 ^6,1 Anderson & Fuller, § 12.
↑ Anderson & Fuller, Theorrm 12.4.
↑ Facchini, Theorem 2.12.
↑ Anderson & Fuller, Theorem 12.6. and Lemma 26.4.
↑ Facchini, Lemma 2.11.
↑ Facchini, Corollary 2.55.

Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13-jild (2-nashr), New York: Springer-Verlag, x+376-bet, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings (Wayback Machine saytida 2021-06-13 sanasida arxivlangan), University of Oregon, Fall, 2002.
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2-jild (2nd-nashr), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.

[1] Anderson & Fuller, Corollary 6.19. and Corollary 6.20.

[2] Here, the endomorphism ring is thought of as acting from the right; if it acts from the left, this identification is for the opposite ring of R.

[3] Processi, Ch.6., § 1.3.

[4] Anderson & Fuller, Proposion 7.6.

[5] Anderson & Fuller, § 32.

[Anderson_12-6] 6,0 ^6,1 Anderson & Fuller, § 12.

[7] Anderson & Fuller, Theorrm 12.4.

[8] Facchini, Theorem 2.12.

[9] Anderson & Fuller, Theorem 12.6. and Lemma 26.4.

[10] Facchini, Lemma 2.11.

[11] Facchini, Corollary 2.55.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]