Kepler masalasi

Klassik mexanikada Kepler masalasi ikki jismli masalaning alohida holati boʻlib, bunda ikkala jism F markaziy kuch bilan oʻzaro taʼsir qiladi, bu kuch ular orasidagi r masofaning teskari kvadrati sifatida oʻzgaradi. Quvvat foydali yoki zararli boʻlishi mumkin. Muammo ikki jismning vaqt oʻtishi bilan ularning massalari, pozitsiyalari va tezligini hisobga olgan holda pozitsiyasini yoki tezligini topishdir. Klassik mexanikadan foydalanib, yechim oltita orbital elementdan foydalangan holda Kepler orbitasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Kepler muammosi Keplerning sayyoralar harakati qonunlarini (klassik mexanikaning bir qismi boʻlgan va sayyoralar orbitalari uchun muammoni hal qilgan) taklif qilgan va orbitalarning ushbu qonunlarga boʻysunishiga olib keladigan kuchlar turlarini oʻrgangan Yoxannes Kepler sharafiga nomlangan. Keplerning teskari muammosi).

Radial orbitalarga xos Kepler muammosini muhokama qilish uchun Radial traektoriyaga qarang. Umumiy nisbiylik nazariyasi ikki jism muammosiga, ayniqsa kuchli tortishish maydonlarida aniqroq echimlarni beradi.

Ilovalar

Kepler muammosi koʻplab kontekstlarda paydo boʻladi, baʼzilari Keplerning oʻzi oʻrgangan fizikadan tashqari. Kepler muammosi samoviy mexanikada muhim ahamiyatga ega, chunki Nyuton tortishish kuchi teskari kvadrat qonuniga boʻysunadi. Misollar, sayyora atrofida harakatlanuvchi sunʼiy yoʻldosh, uning quyosh atrofida sayyora yoki bir-birining atrofida ikki qoʻshaloq yulduz. Kepler muammosi ikkita zaryadlangan zarrachalar harakatida ham muhimdir, chunki Kulonning elektrostatika qonuni teskari kvadrat qonuniga ham boʻysunadi. Misollar vodorod atomi, pozitroniy va muoniyni oʻz ichiga oladi, ularning barchasi fizik nazariyalarni sinab koʻrish va tabiat konstantalarini oʻlchash uchun namunaviy tizim sifatida muhim rol oʻynagan.

Kepler muammosi va oddiy harmonik osilatör muammosi klassik mexanikada eng asosiy ikkita muammodir. Ular har bir mumkin boʻlgan boshlangʻich shartlar toʻplami uchun yopiq orbitalarga ega boʻlgan, yaʼni bir xil tezlikda boshlangʻich nuqtasiga qaytadigan yagona ikkita muammodir (Bertran teoremasi). Kepler muammosi koʻpincha klassik mexanikada Lagranj mexanikasi, Gamilton mexanikasi, Gamilton-Jakobi tenglamasi va harakat burchagi koordinatalari kabi yangi usullarni ishlab chiqish uchun ishlatilgan.  Kepler muammosi Laplas-Runge-Lenz vektorini ham saqlaydi, keyinchalik u boshqa oʻzaro taʼsirlarni oʻz ichiga oladi. Kepler muammosining yechimi olimlarga sayyoralar harakati toʻliq klassik mexanika va Nyutonning tortishish qonuni bilan izohlanishi mumkinligini koʻrsatishga imkon berdi; sayyoralar harakatining ilmiy izohi maʼrifatning boshlanishida muhim rol oʻynadi.

Matematik taʼrif

Ikki jism orasidagi markaziy F kuch ular orasidagi masofa r ning teskari kvadrati sifatida oʻzgaradi:

$\mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

bu yerda k doimiy va $\mathbf {\hat {r}}$ ular orasidagi chiziq boʻylab birlik vektorini ifodalaydi. Kuch jozibali (k <0) yoki itaruvchi ( k >0) boʻlishi mumkin. Tegishli skalyar potensial:

$V(r)={\frac {k}{r}}$

Kepler masalasining yechimi

Radius uchun harakat tenglamasi $r$ massa zarrasining $m$ markaziy potensialda harakat qiladi $V(r)$ Lagranj tenglamalari bilan berilgan:

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

$\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ va burchak momenti $L=mr^{2}\omega$ saqlanib qolgan. Misol uchun, chap tomondagi birinchi atama dumaloq orbitalar uchun nolga teng va qoʻllaniladigan ichki kuch ${\frac {dV}{dr}}$ markazlashtiruvchi kuch talabiga teng $mr\omega ^{2}$, kutilganidek.

Agar L nolga teng boʻlmasa, burchak momentumining taʼrifi mustaqil oʻzgaruvchining oʻzgarishiga imkon beradi $t$ uchun $\theta$

${\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$

vaqtga bogʻliq boʻlmagan yangi harakat tenglamasini berish

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

Birinchi muddatning kengayishi hisoblanadi

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$

Oʻzgaruvchilar oʻzgarishini amalga oshirishda bu tenglama kvazichiziqli boʻladi $u\equiv {\frac {1}{r}}$ va ikkala tomonni koʻpaytirish ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$

${\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$

Oʻzgartirish va qayta tartibga solishdan keyin:

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)$

Gravitatsion yoki elektrostatik potensial kabi teskari kvadrat kuch qonuni uchun potensial yozilishi mumkin.

$V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku$

Orbita $u(\theta )$ umumiy tenglamadan chiqarish mumkin

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}$

uning yechimi doimiy hisoblanadi $-{\frac {km}{L^{2}}}$ Bundan tashqari, oddiy sinusoid

$u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]$

bu yerda $e$ (eksentriklik) va $\theta _{0}$ (faza ofseti) integratsiya konstantalaridir.

Bu boshlangʻichda bitta fokusga ega boʻlgan konus kesimining umumiy formulasi; $e=0$ doiraga toʻgʻri keladi, $e<1$ ellipsga toʻgʻri keladi, $e=1$ parabolaga mos keladi va $e>1$ giperbolaga mos keladi. Eksantriklik $e$ umumiy energiya bilan bogʻliq $E$ (qarang. Laplas-Runge-Lenz vektori)

$e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}$

Bu formulalarni solishtirish shuni koʻrsatadi $E<0$ ellipsga toʻgʻri keladi (yopiq orbitalar boʻlgan barcha eritmalar ellipsdir), $E=0$ parabolaga mos keladi va $E>0$ giperbolaga mos keladi. Ayniqsa, $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ mukammal dumaloq orbitalar uchun (markaziy kuch markazga qoʻyiladigan kuch talabiga toʻliq tengdir, bu maʼlum bir dumaloq radius uchun kerakli burchak tezligini belgilaydi).

Qaytaruvchi kuch uchun (k>0) faqat e>1 amal qiladi.