Maxwell tenglamalari

Maxwell tenglamalari – makroskopik elektrodinamikaning ixtiyoriy muhitda sodir boʻlayotgan elektromagnit hodisalarni ifodalaydigan asosiy tenglamalari. Maxwell tenglamalari, odatda, integral koʻrinishda yoziladi, ammo differensial tenglamalar koʻrinishida ham yozilishi mumkin. XIX asr 60-yillarida James Clerk Maxwell elektr va magnit maydonlar haqidagi Michael Faraday gʻoyalariga asoslangan holda tajriba yoʻli bilan aniqlangan qonunlarni umumlashtirib, ixtiyoriy zaryadlar va toklar tizimi hosil qiluvchi elektromagnit maydonning tugallangan nazariyasini yaratdi. Maxwell nazariyasi klassik fizikaning rivojlanishiga qoʻshilgan ulkan hissa boʻldi. Mexanikada Newton qonunlari qanday ahamiyatli boʻlsa, makroskopik elektrodinamikada Maxwell tenglamalari ham shunday ahamiyatlidir. Maxwell tenglamalarining birinchisi Faradeyning elektromagnit induksiya krnunining matematik ifodalanishidan iborat.

Maxwell tenglamalarining ikkinchisi J. B. Bio, F. Savar, P. Laplasning tajribalarga tayanib yaratgan magnit maydonni tokli oʻtkazgichlar yaratishi haqidagi qonunini umumlashtirish asosida olingan. Mas, ixtiyoriy berk kontur boʻyicha magnit maydon induksiyasi vektorining sirkulyasiyasi shu kontur oʻrab olgan yuzadan oʻtuvchi hamma toklarning algebraik yigʻindisiga teng .

Maxwell magnit maydonni faqat oʻtkazgichdan oʻtayotgan toklar hosil qilibgina qolmay, balki uni har qanday muhitda vujudga kelgan oʻzgaruvchan elektr maydoni ham hosil qilishi haqidagi gipotezani ilgari suradi. Bu gipoteza tajribalar orqali toʻla tasdiklangan.

Tarixi

James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell tomonidan tuzilgan tenglamalar XIX asrning boshlarida amalga oshirilgan bir qator muhim eksperimental kashfiyotlardan kelib chiqqan. 1820-yilda Xans Kristian Ersted oʻtkazgich simdan oʻtgan galvanik oqim magnit kompas ignasini burilishiga olib kelishini aniqladi. Ushbu kashfiyot oʻsha davr olimlarining eʼtiborini tortdi. Xuddi shu 1820-yilda Biot va Savard eksperimental ravishda oqim tomonidan hosil boʻlgan magnit induksiya uchun ifodani topdilar va shuningdek, André-Marie Ampère oʻzaro taʼsir, bir-biridan qandaydir masofada joylashgan oʻtkazgichlar orqali tok oʻtishi hisobiga vujudga kelishini aniqladi. Amper „elektrodinamik“ atamasini kiritdi va tabiiy magnetizm magnitda aylanma toklarning mavjudligi bilan bogʻliq degan fikrni ilgari surdi.

Ersted tomonidan kashf etilgan tokning magnitga taʼsiri Maykl Faradeyni magnitning toklarga teskari taʼsiri boʻlishi kerak degan fikrga olib keldi. Uzoq muddatli tajribalardan soʻng, 1831-yilda Faradey oʻtkazgich yonida harakatlanadigan magnit oʻtkazgichda elektr tokini hosil qilishini aniqladi. Ushbu hodisa elektromagnit induksiya deb nomlangan. Faradey „kuch maydoni“ tushunchasini kiritdi – zaryadlar va oqimlar oʻrtasida joylashgan qandaydir muhit. Uning mulohazalari sifat xarakterga ega edi, ammo ular Maksvell tadqiqotlariga katta taʼsir koʻrsatdi.

Maksvell oʻzining mashhur „Elektr va magnetizm toʻgʻrisidagi risolasida“ (1873) shunday deb yozgan edi:

Faradey ijodini o'rganishni boshlaganimda, uning odatdagi matematik belgilar shaklida ifodalanmasa ham, uning hodisalarni tushunish uslubi matematik ekanligini angladim. Shuningdek, men ushbu usulni umumiy matematik shaklda ifodalash va shu bilan professional matematiklarning metodlari bilan taqqoslash mumkinligini aniqladim.

Maxwell tenglamalarining differensial koʻrinishi

Maxwell tenglamalari 4 ta tenglamaning vektor koʻrinishidan iborat sistema. Ushbu tenglamalar birinchi tartibli chiziqli xususiy hosilali tenglamalardir. Ular orqali 4 ta vektor kattalik ( $D,E,H,B$ ) ning 12 ta komponenti aniqlanadi:

Nomlanishi	SGS^[1]	SI	Mazmuni
Gauss qonuni	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Elektr zaryadi statik elektr maydonining manbai hisoblanadi.
Magnit maydoni uchun Gauss teroemasi	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Magnit zaryadlari mavjud emas. Agar magnit zaryadlari tajribada aniqlansa, Gauss qonuniga oʻzgartirish kiritishga toʻgʻri keladi.
Elektromagnit induksiya qonuni	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Magnit maydon induksiyasining oʻzgarishi uyurmaviy elektr maydonini hosil qiladi.
Magnit maydonining uyurmaviyligi	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	Elektr toki va elektr induksiyasining oʻzgarishi uyurmaviy magnit maydonini hosil qiladi.

Bu yerda qalin shriftlar bilan vektor kattaliklar, ogʻma shriftlar bilan esa skalyar kattaliklar ifodalangan.

Kiritilgan belgilashlar:

$\rho \$ - elektr zaryadining hajmiy zichligi (SI sistemasida $C/m^{2}$ )
$\mathbf {j}$ – elektr toki zichligi (SI sistemasida $A/m^{2}$ )
$c$ – yorugʻlik tezligining vakkumdagi qiymati (299 792 458 m/s);
$\mathbf {E}$ – elektr maydon kuchlanganligi (SI sistemasida birligi – V/m);
$\mathbf {H}$ – magnit maydon kuchlanganligi (SI sistemasida birligi— A/m);
$\mathbf {D}$ – elektr induksiyasi (SI sistemasida birligi – C/m²);
$\mathbf {B}$ – magnit induksiyasi (SI sistemasidagi birligi— Tl = W/m² = kg•s⁻²•A⁻¹);
$\nabla$ — Nabla differensial operatori, bunda:
$\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ yozuvi $\mathbf {E}$ vektorning rotorini anglatadi.

$\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ yozuvi $\mathbf {E}$ vektorning divergensiyasini anglatadi.