Markaziy konfiguratsiya

Osmon mexanikasi va $n$ – jism muammosi matematikasida markaziy konfiguratsiya nuqtali massalar tizimi boʻlib, har bir massa tizimning birlashgan tortishish kuchi taʼsirida toʻgʻridan-toʻgʻri massa markazi tomon tortiladi, tezlashuv esa unga proporsionaldir. markazdan masofa. Markaziy konfiguratsiyalar har qanday oʻlchamdagi Evklid boʻshliqlarida oʻrganilishi mumkin, ammo samoviy mexanika uchun faqat birinchi, ikkinchi va uchinchi oʻlchovlar bevosita tegishli.

Misollar

$n$ teng massa uchun bitta mumkin boʻlgan markaziy konfiguratsiya massalarni muntazam koʻpburchak (Klemperer rozetini tashkil etuvchi), Platonik qattiq jism yoki oddiy politopning yuqori oʻlchamdagi uchlariga joylashtiradi. Konfiguratsiyaning markaziyligi uning simmetriyasidan kelib chiqadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy massaga ega boʻlgan qoʻshimcha nuqtani, uning markaziyligini oʻzgartirmasdan, tizimning massa markaziga qoʻyish mumkin.

Teng tomonli uchburchakda uchta massani, toʻrttasini muntazam tetraedrning uchlarida yoki odatda $n$ massani muntazam simpleksning uchlarida joylashtirish, hatto massalar teng boʻlmaganda ham markaziy konfiguratsiyani hosil qiladi. Bu kichik oʻlchamli pastki fazoda yotmaydigan ushbu massalar uchun yagona markaziy konfiguratsiyadir.

Dinamiklar

Nyutonning universal tortishish qonuniga koʻra, markaziy konfiguratsiyada tinch holatda joylashgan jismlar oʻzlarining massa markazida toʻqnashuvga tushib qolganda, konfiguratsiyani saqlab qoladilar. Ikki oʻlchovli markaziy konfiguratsiyadagi jismlar tizimlari oʻzlarining nisbiy pozitsiyalarini saqlab, massa markazi atrofida barqaror aylanishlari mumkin, massa markazi atrofida aylana orbitalari yoki massa markazi ellips markazida boʻlgan elliptik orbitalarda. Bular uch oʻlchovli fazodagi yagona mumkin boʻlgan barqaror orbitalar boʻlib, unda zarralar tizimi har doim oʻzining dastlabki konfiguratsiyasiga oʻxshash boʻlib qoladi.

Umuman olganda, Nyuton gravitatsiyasi ostida harakatlanadigan har qanday zarrachalar tizimi vaqt va makonning bir nuqtasida toʻqnashuvi, vaqt toʻqnashuv vaqtiga intilish chegarasida, markaziy konfiguratsiyaga yaqinlashadi. Xuddi shunday, oxir-oqibat hammasi bir-biridan qochish tezligida qochib ketadigan zarrachalar tizimi vaqt cheksizlikka intilayotgani sababli chegaradagi markaziy konfiguratsiyaga yaqinlashadi. Va Nyuton tortishish taʼsirida xuddi qattiq jismdek harakatlanadigan har qanday zarrachalar tizimi buni markaziy konfiguratsiyada qilishi kerak. Ikki oʻlchovli suyuqlik dinamikasidagi girdoblar, masalan, er okeanidagi yirik boʻron tizimlari ham markaziy konfiguratsiyalarda joylashishga moyildir.

Roʻyxatga olish

Ikki markaziy konfiguratsiya, agar ular oʻxshash boʻlsa, ekvivalent hisoblanadi, yaʼni ular aylanish, tarjima va masshtablashning qandaydir kombinatsiyasi orqali bir-biriga aylantirilishi mumkin. Ekvivalentlikning ushbu taʼrifi bilan bir yoki ikkita nuqtaning faqat bitta konfiguratsiyasi mavjud va u har doim markaziy hisoblanadi.

Uchta jism holatida Leonhard Eyler tomonidan topilgan uchta bir oʻlchovli markaziy konfiguratsiya mavjud. Uch nuqtali markaziy konfiguratsiyalar toʻplamining cheklanganligi Jozef-Lui Lagranj tomonidan uch tanali muammoni hal qilishda koʻrsatildi; Lagrange shuni koʻrsatdiki, faqat bitta chiziqli boʻlmagan markaziy konfiguratsiya mavjud boʻlib, unda uchta nuqta teng qirrali uchburchakning uchlarini tashkil qiladi.

Har qanday oʻlchamdagi toʻrtta nuqta faqat cheksiz koʻp markaziy konfiguratsiyaga ega. Bu holda konfiguratsiyalar soni nuqtalarning massasiga qarab kamida 32 va koʻpi bilan 8472 ni tashkil qiladi. Toʻrtta teng massali yagona qavariq markaziy konfiguratsiya kvadratdir. Uch oʻlchamga ega boʻlgan toʻrtta massaning yagona markaziy konfiguratsiyasi oddiy tetraedrning uchlari hosil qilgan konfiguratsiyadir.

Bitta oʻlchamdagi ixtiyoriy koʻp nuqtalar uchun yana faqat chekli koʻp echimlar mavjud, ular chiziqdagi nuqtalarning $n!/2$ chiziqli tartibining har biri uchun (tartibning teskarisiga qadar) bittadan.

Har bir $n$ nuqta massasi toʻplami va $n$ dan kichik har bir oʻlchov uchun ushbu oʻlchamning kamida bitta markaziy konfiguratsiyasi mavjud. Deyarli barcha $n$ -massa kortejlari uchun aniq $n - 2$ oʻlchamni qamrab oluvchi chekli koʻp „Dziobek“ konfiguratsiyalari mavjud. Chazy (1918) va Wintner (1941) tomonidan qoʻyilgan, ikki yoki undan ortiq oʻlchamdagi besh yoki undan koʻp massa uchun har doim cheklangan miqdordagi markaziy konfiguratsiyalar mavjudligi hal qilinmagan muammodir. 1998 yilda Stiven Smeyl ushbu muammoni oʻzining „keyingi asrdagi matematik muammolar“ roʻyxatiga oltinchi oʻringa kiritdi. Qisman progress sifatida deyarli barcha 5-massalar uchun besh nuqtadan iborat ikki oʻlchovli markaziy konfiguratsiyalarning cheklangan soni mavjud.

Konfiguratsiyalarning maxsus sinflari

Yigʻilgan

Markaziy konfiguratsiya stacked deb ataladi, agar uning massalarining uch yoki undan ortiq qismi ham markaziy konfiguratsiyani tashkil qilsa. Misol uchun, bu teng massalar uchun toʻgʻri boʻlishi mumkin kvadrat piramida, piramida tagidagi toʻrtta massa ham markaziy konfiguratsiyani tashkil qiladi yoki uchburchak bipiramidani tashkil etuvchi massalar uchun, bipiramidaning markaziy uchburchagida uchta massa boʻlishi mumkin. markaziy konfiguratsiyani ham tashkil qiladi.

Oʻrgimchak toʻri

Oʻrgimchak toʻrining markaziy konfiguratsiyasi – bu konfiguratsiya boʻlib, unda massalar boshqa chiziqlar toʻplami bilan konsentrik doiralar toʻplamining kesishish nuqtalarida joylashgan boʻlib, ular teng burchakli doiralar markazida uchrashadi. Bitta aylanali chiziqlarning kesishish nuqtalari hammasi teng massali nuqtalar bilan band boʻlishi kerak, ammo massalar doiradan doiraga farq qilishi mumkin. Tizimning markaziga qoʻshimcha massa (nol boʻlishi mumkin) qoʻyiladi. Oʻrgimchak toʻrining markaziy konfiguratsiyasining har bir konsentrik doirasidagi istalgan qator qatorlar, doiralar soni va massalar profili uchun ushbu parametrlarga mos keladigan oʻrgimchak toʻrining markaziy konfiguratsiyasini topish mumkin. Xuddi shunday ichki platonik qattiq jismlar oilalari uchun markaziy konfiguratsiyalarni yoki ortogonal guruhning har qanday chekli kichik guruhining umumiy guruh-nazariy orbitalarini olish mumkin.

Jeyms Klerk Maksvell Saturn halqalarining harakatini tushunish uchun bir doira, massiv markaziy tanasi va aylananing teng masofali nuqtalarida ancha engilroq jismlar boʻlgan ushbu konfiguratsiyalarning maxsus holatidan foydalanish mumkinligini taklif qildi. Saari (2015) galaktikalarning massa taqsimotini klassik baholash usullarining toʻgʻriligini sinab koʻrish uchun maʼlum massa taqsimotiga ega boʻlgan oʻrgimchak toʻrining markaziy konfiguratsiyasidan yaratilgan barqaror orbitalardan foydalangan. Uning natijalari shuni koʻrsatdiki, bu usullar juda notoʻgʻri boʻlishi mumkin, bu esa galaktik harakatni bashorat qilish uchun standart nazariyalar bashorat qilgandan koʻra kamroq qorongʻu materiya kerakligini koʻrsatadi.

Manbalar

Moeckel, Richard (2015), „Central configurations“, in Llibre, Jaume; Moeckel, Richard; Simó, Carles (eds.), Central Configurations, Periodic Orbits, and Hamiltonian Systems, Advanced Courses in Mathematics – CRM Barcelona, Basel: Springer, pp. 105-167, doi:10.1007/978-3-0348-0933-7_2, MR 3469182
Saari, Donald G. (2011), „Central Configurations—A Problem for the Twenty-first Century“ (PDF), in Shubin, Tatiana; Hayes, David; Alexanderson, Gerald (eds.), Expeditions in mathematics, MAA Spectrum, Washington, DC: Mathematical Association of America, pp. 283-297, ISBN 978-0-88385-571-3, MR 2849696
Albouy, Alain (1995), „Symétrie des configurations centrales de quatre corps“, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 320 (2): 217-220, MR 1320359
Hampton, Marshall; Moeckel, Richard (2006), „Finiteness of relative equilibria of the four-body problem“, Inventiones Mathematicae, 163 (2): 289-312, doi:10.1007/s00222-005-0461-0, MR 2207019, S2CID 1293751
Albouy, Alain (1996), „The symmetric central configurations of four equal masses“, Hamiltonian dynamics and celestial mechanics (Seattle, WA, 1995), Contemporary Mathematics, vol. 198, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 131-135,