Qayta tiklash koeffitsienti

Qayta tiklash koeffitsienti (COR — coefficient of restitution, shuningdek, e bilan belgilanadi), ular toʻqnashgandan keyin ikki ob’ekt orasidagi yakuniy va dastlabki nisbiy tezlik nisbati. Odatda 0 dan 1 gacha boʻladi, bunda 1 mukammal elastik toʻqnashuv boʻladi. Toʻliq elastik boʻlmagan toʻqnashuv 0 koeffitsientiga ega, ammo 0 qiymati mutlaqo noelastik boʻlishi shart emas. U Leeb rebound qattiqligi testida oʻlchanadi, 1000 marta COR sifatida ifodalanadi, lekin u sinovdan oʻtayotgan material uchun universal COR sifatida emas, balki faqat sinov uchun yaroqli COR hisoblanadi.

Stroboskopik chaqnash bilan soniyasiga 25 ta tasvir tezlikda sakrab tushayotgan toʻp : Havo qarshiligiga eʼtibor bermay, bir sakrash balandligining oldingi sakrashga nisbati kvadrat ildizi toʻp/sirt taʼsirini tiklash koeffitsientini beradi.

Qiymat deyarli har doim 1 dan kichik boʻladi, chunki dastlabki translatsiya kinetik energiyasi bir qismi plastik deformatsiyaga va issiqlikka aylanib, yoʻqoladi. Kimyoviy reaksiya natijasida toʻqnashuv paytida energiya ortishi, aylanish energiyasining kamayishi yoki toʻqnashuvdan keyingi tezlikka hissa qoʻshadigan boshqa ichki energiya kamayishi boʻlsa, u 1 dan ortiq boʻlishi mumkin.

$${\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity before collision}}\right|}}$$

Matematik hisob-kitobi 1687 yilda ser Isaak Nyuton tomonidan ishlab chiqilgan. U Nyutonning eksperimental qonuni sifatida ham tanilgan.

Batafsil maʼlumotlar

Taʼsir chizigʻi — bu chiziq boʻylab e aniqlangan yoki toʻqnashuvchi yuzalar oʻrtasida tangensial reaktsiya kuchi boʻlmasa, zarba kuchi ushbu chiziq boʻylab jismlar oʻrtasida taqsimlanadi. Taʼsir paytida jismlar oʻrtasidagi jismoniy aloqa paytida uning toʻqnashuvchi jismlar bilan aloqa qiladigan umumiy normaldan juft yuzalar boʻylab chizigʻi. Demak, e oʻlchovsiz bir oʻlchovli parametr sifatida aniqlanadi.

e uchun qiymatlar diapazoni — doimiy sifatida qabul qilinadi

e odatda 0 dan 1 gacha boʻlgan musbat, haqiqiy son:

• e = 0 : Bu mutlaqo elastik bo'lmagan toʻqnashuv.
• 0 < e < 1 : Bu haqiqiy dunyodagi noelastik toʻqnashuv boʻlib, unda bir oz kinetik energiya tarqaladi.
• e = 1 : Bu mukammal elastik toʻqnashuv boʻlib, unda kinetik energiya yoʻqolmaydi va jismlar bir-biridan ular yaqinlashgan nisbiy tezlik bilan orqaga qaytadilar.
• e < 0 : COR noldan kichik boʻlgan toʻqnashuvni ifodalaydi, bunda ob'ektlarning ajralish tezligi yopilish tezligi bilan bir xil yoʻnalishga (belgiga) ega boʻladi, bu ob'ektlarning bir-biridan toʻliq qoʻshilmagan holda oʻtganligini bildiradi. Bu momentumning toʻliq boʻlmagan uzatilishi sifatida ham koʻrib chiqilishi mumkin. Bunga misol qilib katta, kamroq zich ob'ektdan oʻtadigan kichik, zich ob'ekt boʻlishi mumkin, masalan, nishondan oʻtadigan oʻq.
• e > 1 : Bu energiya ajralib chiqadigan toʻqnashuvni ifodalaydi, masalan, nitroselüloza bilyard toʻplari taʼsir nuqtasida tom maʼnoda portlashi mumkin. Bundan tashqari, soʻnggi maqolalarda superelastik toʻqnashuvlar tasvirlangan boʻlib, ularda COR qiyshiq toʻqnashuvlarning alohida holatida birdan kattaroq qiymat olishi mumkinligi taʼkidlangan . Bu hodisalar ishqalanish natijasida kelib chiqqan orqaga qaytish traektoriyasining oʻzgarishi bilan bogʻliq. Bunday toʻqnashuvlarda kinetik energiya qandaydir portlashda chiqariladi. Shunday boʻlishi mumkin $e=\infty$ qattiq tizimning mukammal portlashi uchun.

Juft ob’ektlar harakatida

COR bitta ob’ekt emas, balki toʻqnashuvdagi juft ob’ektlarning xususiyatidir. Agar berilgan ob’ekt ikki xil ob’ekt bilan toʻqnashsa, har bir toʻqnashuvning oʻz COR boʻladi. Agar ob’ekt qayta tiklash koeffitsientiga ega deb taʼriflansa, u xuddi ikkinchi ob’ektga murojaat qilmasdan, u oʻziga xos xususiyatga ega boʻlsa, u bir xil sferalar orasida yoki mukammal qattiq devorga qarshi turadi deb taxmin qilinadi.

Mukammal qattiq devorni yaratish mumkin emas, lekin elastiklik moduli ancha kichikroq boʻlgan sharlarning COR ni oʻrganayotganda, poʻlat blok bilan yaqinlashishi mumkin. Aks holda, COR koʻtariladi va keyin toʻqnashuv tezligiga qarab yanada murakkabroq tarzda tushadi.

Energiya va impulsning saqlanishi bilan bogʻliqlik

Bir oʻlchovli toʻqnashuvda ikkita asosiy printsip mavjud: energiyani saqlash (agar toʻqnashuv mukammal elastik boʻlsa, kinetik energiyani saqlash) va (chiziqli) impulsni saqlash. Uchinchi tenglamani olish mumkin bu ikkisidan, yuqorida aytib oʻtilganidek, qayta tiklash tenglamasi. Muammolarni yechishda uchta tenglamaning istalgan ikkitasidan foydalanish mumkin. Qayta tiklash tenglamasidan foydalanishning afzalligi shundaki, u baʼzan muammoga yondashishning qulayroq usulini beradi.

Mayli $m_{1}$, $m_{2}$ mos ravishda 1 va 2 ob’ektning massasi boʻlsin. Mayli $u_{1}$, $u_{2}$ mos ravishda 1 va 2 ob’ektning boshlangʻich tezligi boʻlsin. Mayli $v_{1}$, $v_{2}$ mos ravishda 1 va 2 ob’ektning yakuniy tezligi boʻlsin.

$${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$$

Birinchi tenglamadan,

$$m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)$$

$$m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

Ikkinchi tenglamadan,

$$m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

Boʻlingandan keyin,

$$u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$$

$$u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$$

$${\frac {\left|v_{1}-v_{2}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1$$

Yuqoridagi tenglama qayta tiklash tenglamasi boʻlib, qayta tiklash koeffitsienti 1 ga teng, bu mukammal elastik toʻqnashuvdir.

Sport jihozlarida tajriba

Yupqa yuzli golf klubi haydovchilari „batut effekti“ dan foydalanadilar, bu esa toʻpga koʻproq impuls beruvchi saqlangan energiyaning egiluvchanligi va keyinchalik chiqishi natijasida uzoqroq masofani bosib oʻtadi. USGA (Amerikaning golf boʻyicha boshqaruv organi) drayverlarni COR uchun sinovdan oʻtkazadi va yuqori chegarani 0,83 ga qoʻydi. COR klub bosh tezligi tezligining funksiyasi boʻlib, bosh tezligi oshishi bilan kamayadi. Hisobotda COR 0,845 dan 90 mph gacha, 130 mil/soatda 0,797 gacha. Yuqorida aytib oʻtilgan „batut effekti“ buni koʻrsatadi, chunki u toʻqnashuv vaqtini oshirish orqali toʻqnashuvning kuchlanish tezligini kamaytiradi. Bir maqolaga koʻra (tennis raketkalarida COR ga murojaat qilish), yoki Benchmark shartlarida ishlatiladigan tiklash koeffitsienti barcha raketkalar uchun 0,85 ni tashkil qiladi, bu koeffitsientni qoʻshishi yoki olib tashlashi mumkin boʻlgan torning tarangligi va ramkaning qattiqligi oʻzgaruvchilarini yoʻq qiladi.

Xalqaro stol tennisi federatsiyasi toʻpning standart poʻlat blokga oʻrnatib 30,5 sm balandlikdan tushganda 24-26 sm hisobida yuqoriga qaytishini belgilaydi, COR 0,887 dan 0,923 gacha.

Basketbolning COR koʻrsatkichi toʻpning 960 mmdan 1160 mmgacha boʻlgan balandlikka qaytishini talab qilish orqali belgilanadi.1800 mm balandlikdan tushganda, natijada COR 0,73-0,80 oraligʻida boʻladi.

Tenglamalar

Ikki ob’ekt, A ob’ekti va B ob’ekti ishtirokidagi bir oʻlchovli toʻqnashuvda tiklash koeffitsienti quyidagicha ifodalanadi:

$$C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$$

bu yerda:

• $v_{\text{a}}$ — A ob’ektining zarbadan keyingi yakuniy tezligi
• $v_{\text{b}}$ — B ob’ektining zarbadan keyingi yakuniy tezligi
• $u_{\text{a}}$ — A ob’ektining zarba oldidan dastlabki tezligi
• $u_{\text{b}}$ — B ob’ektining zarba oldidan dastlabki tezligi

Garchi $C_{R}$ ob’ektlarning massalariga aniq bogʻliq emas, shuni taʼkidlash kerakki, yakuniy tezliklar massaga bogʻliq. Qattiq jismlarning ikki va uch oʻlchovli toʻqnashuvi uchun tezliklar teginish nuqtasida, yaʼni zarba chizigʻi boʻylab tangens chiziq/tekislikka perpendikulyar boʻlgan komponentlar hisoblanadi.

Harakatsiz nishondan sakrab tushayotgan jism uchun, $C_{R}$ Ob’ektning zarbadan keyingi tezligining zarbadan oldingi tezligiga nisbati sifatida aniqlanadi:

$C_{R}={\frac {v}{u}},$

bu yerda

• $v$ ob’ektning zarbadan keyingi tezligi
• $u$ ob’ektning zarbadan oldingi tezligi

Agar ishqalanish kuchlarini eʼtiborsiz qoldirish mumkin boʻlsa va jism tinch holatdan gorizontal yuzaga tushirilsa, bu quyidagilarga tengdir:

$C_{R}={\sqrt {\frac {h}{H}}},$

bu yerda

• $h$ sakrash balandligi
• $H$ tushish balandligi hisoblanadi

Qayta tiklash koeffitsientini jism sirtdan sakrab tushganda mexanik energiyaning saqlanish darajasining oʻlchovi sifatida qarash mumkin. Ob’ektning statsionar nishondan sakrab tushishi holatida, tortishish potentsial energiyasining oʻzgarishi E _p, taʼsir jarayonida mohiyatan nolga teng; shunday qilib, $C_{R}$ Bu ob’ektning toʻgʻridan-toʻgʻri taʼsir qilishdan oldingi E _k kinetik energiyasi bilan zarbadan keyingi energiya oʻrtasidagi taqqoslashdir:

$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$

Ishqalanish kuchlarini eʼtiborsiz qoldirish mumkin boʻlgan hollarda (bu mavzu boʻyicha deyarli har bir talaba laboratoriyasi) va ob’ekt dam olish joyidan gorizontal yuzaga tushirilganda, yuqorida aytilganlar ob’ektning E _p oʻrtasidagi taqqoslashga tengdir. tushish balandligini shu bilan birga sakrash balandligida. Bunday holda, E _k oʻzgarishi nolga teng (ob’ekt taʼsir jarayonida mohiyatan tinch holatda boʻladi va sakrash choʻqqisida ham dam oladi); shunday:

$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

Elastik zarralar oʻrtasidagi toʻqnashuvlar tenglamalari COR dan foydalanish uchun oʻzgartirilishi mumkin, bu esa elastik boʻlmagan toʻqnashuvlarga va ularning orasidagi barcha imkoniyatlarga ham tegishli boʻladi.

$v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

va

$v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

bu yerda

• $v_{\text{a}}$ birinchi ob’ektning zarbadan keyingi yakuniy tezligi
• $v_{\text{b}}$ zarbadan keyingi ikkinchi ob’ektning yakuniy tezligi
• $u_{\text{a}}$ birinchi ob’ektning zarbadan oldingi boshlangʻich tezligi
• $u_{\text{b}}$ ikkinchi ob’ektning zarbadan oldingi boshlangʻich tezligi
• $m_{\text{a}}$ birinchi jismning massasi
• $m_{\text{b}}$ ikkinchi jismning massasi

Keltirib chiqarish

Yuqoridagi tenglamalar COR va impulsning saqlanish qonuni (barcha toʻqnashuvlar uchun amal qiladi) taʼrifi bilan tuzilgan tenglamalar tizimining analitik yechimidan olinishi mumkin. Yuqoridagi belgidan foydalanish $u$ toʻqnashuvdan oldingi tezlikni ifodalaydi va $v$ keyin, hosil beradi:

$${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}$$

Impulsning saqlanish tenglamasini yechish $v_{\text{a}}$ va uchun qayta tiklash koeffitsienti taʼrifi $v_{\text{b}}$ hosil beradi:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

Keyinchalik, birinchi tenglamaga almashtirish $v_{\text{b}}$ va keyin uchun hal qilish $v_{\text{a}}$ beradi:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

Shunga oʻxshash hosila $v_{\text{b}}$ formulasini beradi.

Ob’ekt shakli va markazdan tashqari toʻqnashuvlar tufayli COR oʻzgarishi

Toʻqnashayotgan jismlar oʻzlarining ogʻirlik markazlari va taʼsir nuqtasiga toʻgʻri keladigan harakat yoʻnalishiga ega boʻlmasa yoki bu nuqtadagi ularning aloqa yuzalari shu chiziqqa perpendikulyar boʻlmasa, post uchun maʼlum energiya mavjud boʻlar edi. -toʻqnashuv tezligi farqi aylanish va ishqalanish natijasida yoʻqoladi. Tebranish va natijada paydo boʻladigan tovush uchun energiya yoʻqotishlari odatda ahamiyatsiz.

Turli materiallarning toʻqnashuvi va amaliy oʻlchov

Yumshoq ob’ekt qattiqroq ob’ektga urilganda, toʻqnashuvdan keyingi tezlik uchun mavjud boʻlgan energiyaning katta qismi yumshoq ob’ektda saqlanadi. COR yumshoq ob’ektning energiyani issiqlik va plastik deformatsiyaga yoʻqotmasdan siqilishda saqlashda qanchalik samarali ekanligiga bogʻliq boʻladi. Kauchuk toʻp shisha toʻpga qaraganda betondan yaxshiroq sakrab tushadi, lekin shisha ustidagi shishaning COR koʻrsatkichi kauchukdan ancha yuqori, chunki kauchukdagi energiyaning bir qismi siqilganda issiqlik uchun yoʻqoladi. Kauchuk toʻp shisha toʻp bilan toʻqnashganda, COR butunlay kauchukga bogʻliq boʻladi. Shu sababli, toʻqnashuv uchun bir xil material boʻlmasa, materialning COR ni aniqlash ancha qattiqroq materialdan foydalangan holda amalga oshiriladi.

Mukammal qattiq material yoʻqligi sababli, metallar va keramika kabi qattiq materiallar bir xil sharlar oʻrtasidagi toʻqnashuvni hisobga olgan holda nazariy jihatdan CORni aniqlaydi. Amalda, 2 toʻpli Nyuton beshigi ishlatilishi mumkin, ammo bunday oʻrnatish namunalarni tezda sinab koʻrishga yordam bermaydi.

Leeb rebound qattiqligi testi CORni aniqlash bilan bogʻliq yagona keng tarqalgan sinovdir. U maʼlum bir balandlikdan sinov namunalariga tushirilgan eng qattiq moddalardan biri boʻlgan volfram karbidining uchidan foydalanadi. Ammo uchining shakli, taʼsir tezligi va volfram karbidining barchasi 1000 * COR bilan ifodalangan natijaga taʼsir qiluvchi oʻzgaruvchilardir. Sinovdan mustaqil boʻlgan material uchun ob’ektiv CORni bermaydi.

Materialning xususiyatlariga (elastik modullar, reologiya), taʼsir yoʻnalishiga, ishqalanish koeffitsientiga va taʼsir qiluvchi jismlarning yopishqoq xususiyatlariga bogʻliq holda tiklash koeffitsientlarini har tomonlama oʻrganishni Willert (2020) da topish mumkin.

Moddiy xususiyatlar orqali bashorat qilish

COR moddiy xususiyat emas, chunki u materialning shakli va toʻqnashuvning oʻziga xos xususiyatlari bilan oʻzgaradi, lekin toʻqnashuvning oʻziga xos xususiyatlari soddalashtirilganda uni moddiy xususiyatlardan va taʼsir tezligidan bashorat qilish mumkin. Aylanish va ishqalanish yoʻqotishlarining asoratlanishiga yoʻl qoʻymaslik uchun bir xil sferik jismlarning massa markazlari va nisbiy tezliklari bir-biriga toʻgʻri kelishi uchun toʻqnashishining ideal holatini koʻrib chiqishimiz mumkin.

Metall va keramika kabi koʻplab materiallar (lekin kauchuk va plastmassa emas) zarba paytida ularning oqish kuchiga yaqinlashmasa, mukammal elastik deb hisoblanadi. Taʼsir energiyasi nazariy jihatdan faqat elastik siqilishning prujina taʼsirida saqlanadi va natijada e = 1 boʻladi. Ammo bu faqat taxminan 0,1 m/s dan 1m/s gacha past tezliklarda amal qiladi. Elastik diapazon yuqori tezlikda oshib ketishi mumkin, chunki barcha kinetik energiya taʼsir nuqtasida toʻplangan. Xususan, oqim kuchi odatda aloqa joyining bir qismida oshib ketadi, elastik mintaqada qolmagan holda plastik deformatsiyaga energiya yoʻqotadi. Buni hisobga olish uchun quyidagi plastik deformatsiyaga yoʻqolmagan dastlabki zarba energiyasining foizini baholash orqali CORni baholaydi. Taxminan, u materialning hajmi siqilishda energiyani qanchalik oson saqlashi mumkinligini ajratadi ($1/{\text{elastic modulus}}$) elastik diapazonda qanchalik yaxshi turishi bilan ($1/{\text{yield strength}}$):

$$\%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}$$

Berilgan material zichligi va tezligi uchun bu quyidagilarga olib keladi:

$${\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$$

Yuqori rentabellik kuchi materialning „kontakt hajmining“ koʻp qismini yuqori energiyalarda elastik mintaqada qolishiga imkon beradi. Pastroq elastik modul zarba paytida kattaroq aloqa maydonini rivojlanishiga imkon beradi, shuning uchun energiya aloqa nuqtasida sirt ostida kattaroq hajmga taqsimlanadi. Bu hosildorlikning oshib ketishining oldini olishga yordam beradi.

Aniqroq nazariy ishlanma materialning tezligi va zichligi elastik toʻqnashuvdan (0,1 dan katta) oʻrtacha tezlikda CORni bashorat qilishda ham muhimligini koʻrsatadi. metallar uchun) va katta doimiy plastik deformatsiyadan (100 m/s dan kam) sekinroq. Pastroq tezlik soʻrilishi uchun kamroq energiya talab qilib, koeffitsientni oshiradi. Kamroq zichlik, shuningdek, kamroq boshlangʻich energiya soʻrilishini anglatadi. Massa oʻrniga zichlik ishlatiladi, chunki sharning hajmi aloqa joyidagi taʼsirlangan hajmning hajmi bilan bekor qilinadi. Shu tarzda, sharning radiusi koeffitsientga taʼsir qilmaydi. Har xil oʻlchamdagi, lekin bir xil materialdan yasalgan toʻqnashuvchi sharlar juftligi quyidagi koeffitsientga ega, lekin koʻpaytiriladi. ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$

Ushbu toʻrtta oʻzgaruvchini birlashtirgan holda, toʻp bir xil materialning yuzasiga tushganda tiklash koeffitsientini nazariy baholash mumkin.

• e = qayta tiklash koeffitsienti
• S _y = dinamik oqim kuchi (dinamik „elastik chegara“)
• E ′ = samarali elastik modul
• ρ = zichlik
• v = zarba tezligi
• m = Puasson nisbati

$$e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}$$

$$E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$$

Bu tenglama haqiqiy CORni ortiqcha baholaydi. Metall uchun u v taxminan 0,1 m/s dan 100 m/s orasida boʻlganda qoʻllaniladi va umuman olganda:

$$0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$$

Sekinroq tezliklarda COR yuqoridagi tenglama bashorat qilganidan yuqori boʻladi, nazariy jihatdan yuqoridagi kasr dan kichik $10^{-6}$ m/s boʻlganda e=1 ga etadi. U 1 metrga tushgan qattiq sferalar uchun qayta tiklashning quyidagi nazariy koeffitsientini beradi (v = 4,5 m/s). 1 dan katta qiymatlar tenglamada xatolar borligini koʻrsatadi. Dinamik oqim kuchi oʻrniga hosildorlik kuchi ishlatilgan.

Metall va keramika:	Bashorat qilingan COR, e
kremniy	1.79
Alumina	0,45 dan 1,63 gacha
kremniy nitridi	0,38 dan 1,63 gacha
kremniy karbid	0,47 dan 1,31 gacha
eng yuqori amorf metall	1.27
volfram karbid	0,73 dan 1,13 gacha
zanglamaydigan poʻlat	0,63 dan 0,93 gacha
magniy qotishmalari	0,5 dan 0,89 gacha
titanium qotishmasi 5-darajali	0,84
alyuminiy qotishmasi 7075-T6	0,75
stakan (soda-ohak)	0,69
shisha (borosilikat)	0,66
nikel qotishmalari	0,15 dan 0,70 gacha
sink qotishmalari	0,21 dan 0,62 gacha
quyma temir	0,3 dan 0,6 gacha
mis qotishmalari	0,15 dan 0,55 gacha
titanium 2-darajali	0,46
volfram	0,37
alyuminiy qotishmalari 3003 6061, 7075-0	0,35
sink	0,21
nikel	0,15
mis	0,15
alyuminiy	0.1
qoʻrgʻoshin	0,08

Plastmassalar va kauchuklar uchun COR ularning haqiqiy qiymatlaridan kattaroqdir, chunki ular siqilish vaqtida isitish tufayli metallar, oynalar va keramika kabi ideal darajada elastik boʻlmaydi. Shunday qilib, quyida faqat polimerlar reytingi boʻyicha qoʻllanma.

Polimerlar (metall va keramika bilan solishtirganda yuqori baholangan):

Metallar uchun bu nazariya qoʻllanilishi mumkin boʻlgan tezlik diapazoni taxminan 0,1 m/s dan 5 m/s gacha, bu tomchi 0,5 mm dan 1,25 metrgacha tushganda aniqlash mumkin(366-bet ).

Adabiyotlar

• Cross, Rod (2006). The bounce of a ball. Physics Department, University of Sydney, Australia. http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/BallBounce.pdf. Qaraldi: 2008-01-16. Qayta tiklash koeffitsienti]]
• Walker, Jearl. Fundamentals Of Physics, 9th, David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, 2011. ISBN 978-0-470-56473-8. 

Havolalar

• Wolfram Article on COR
• Bennett & Meepagala. „Coefficients of Restitution“. The Physics Factbook (2006).

• Chris Hecker's physics introduction
• "Getting an extra bounce" by Chelsea Wald
• FIFA Quality Concepts for Footballs – Uniform Rebound
• Bowley, Roger „Coefficient of Restitution“. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham (2009).