Bosh menuni ochish

Viete formulalari (talaffuzi: Viyet) — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Yana bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi Francois Viete (talaffuzi: Fransua Viyet) (farangcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Viete) nomi bilan ataladi. Viete formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.

Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

Mundarija

QoidalarTahrirlash

Asosiy formulalarTahrirlash

n-darajali har qanday koʻphad

  (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va an ≠ 0)

algebraning asosiy teoremasiga koʻra n ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) x1x2, …, xn kompleks ildizga ega.

Viete formulalari koʻphadning koeffitsiyentlariniak } shu koʻphad ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasixi } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

 

Boshqacha qilib aytganda, ank (n − k) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar k ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

 

Bu yerda k = 1, 2, …, n. Bu yerda yana ik indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.

Halqalarga umumlashtirishTahrirlash

Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti (ingl. integral domain) R da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda   boʻlaklari R ning ulushlar halqasiga (ingl. ring of fractions) kiradi. Agar   R da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar R ning oʻziga kiradi.   ildizlar algebraik yopiq maydonda (ingl. algebraically closed field) olinadi. Odatda R butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan kommutativ halqa (yoki abel halqasi) koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki   lar   lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida   koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar   va   boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.

MisollarTahrirlash

Kvadrat tenglamaTahrirlash

Teorema

Agar

 

keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi.

Yaʼni,

  (1)

Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.

Misol
 

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikki ildiz, yaʼni   va   mavjud deb qaralsin. Viete formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlishi kerak:

 

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni   va   hollarida. Viete teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi:  . Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama

 

ildizlari va koeffitsientlari oʻrtasidagi yana ayrim munosabatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:

 

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:

  (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:

 

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:

 
Teskari teorema

Viete teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.

Teorema: Agar   va   sonlar shunday boʻlsaki,  ,   boʻlsa, u holda   va   lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.

Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

Uchinchi darajali tenglamaTahrirlash

Agar

  
  uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda
 

IsbotiTahrirlash

Viete formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

 .

Bu ifoda toʻgʻri, chunki   bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirish kerak. Soʻngra  ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

  ifodasini yoysak, hadlar   boʻladi. Bu yerda   koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab   yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan   larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun (  ni yoki x ni kiritish)   ta had bor. Geometrik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash   dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni,   ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

TarixiTahrirlash

 
Viete formulalari farang matematigi Francois Viete (1540-1603) nomi bilan ataladi

Viete formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi Francois Viete (talaffuzi: Fransua Viyet) (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Viete) nomi bilan ataldi.[1] Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viete tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan.[2] Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos.[3]

1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.[4]

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:

  …[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.  

yaʼni,

  …Girard darajalar koeffitsiyentlarini ildizlar yigʻindisi va ularning koʻpaytmasidan tuzish umumiy prinsipini birinchilardan boʻlib anglagan. U birinchi boʻlib har qanday tenglama ildizlari darajalarini qoʻshish qoidalarini oʻylab topgan.  

Viete tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman anglagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Vietening bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formulalarni uning nomi bilan atash xato emas.

Shuningdek qarangTahrirlash

ManbalarTahrirlash

  1. Valahas, Theodoros; Andreas Boukas (2011). "On Viete’s formulas and the determination of a set of positive integers by their sum and product". Australian Senior Mathematics Journal 25: 55-62. http://www.eric.ed.gov/PDFS/EJ962501.pdf. Qaraldi: 1 April 2013. 
  2. François Viète, seigneur de la Bigotiere. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica. 19 March 2013.
  3. Funkhouser, H. Gray (1930). "A Short Account of the History of Symmetric Functions of Roots of Equations". The American Mathematical Monthly 37 (7): 357-365. http://www.jstor.org/stable/10.2307/2299273. Qaraldi: 1 April 2013. 
  4. Berggren, J. Lennart. „Theory of Equations.“ Microsoft® Student 2009 [DVD]. Redmond, WA: Microsoft Corporation, 2008.

HavolalarTahrirlash